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第一類橢球諧函式

Lamé 微分方程的第一類解，記作 E_n^m(x)，其中 m=1, ..., 2n+1。它們也被稱為第一類 Lamé 函式。兩個第一類橢球諧函式的乘積是一個球諧函式。Whittaker 和 Watson (1990, pp. 536-537) 寫道

Theta_p=(x^2)/(a^2+theta_p)+(y^2)/(b^2+theta_p)+(z^2)/(c^2+theta_p)-1
(1)
Pi(Theta)=Theta_1Theta_2...Theta_m,
(2)

並給出了各種型別的橢球諧函式及其最高階項，如下所示

1. Pi(Theta):2m

2. xPi(Theta),yPi(Theta),zPi(Theta):2m+1

3. yzPi(Theta),zxPi(Theta),xyPi(Theta):2m+2

4. xyzPi(Theta):2m+3.

次數為 n 的 Lamé 函式可以表示為

(theta+a^2)^(kappa_1)(theta+b^2)^(kappa_2)(theta+c^2)^(kappa_3)product_(p=1)^m(theta-theta_p),
(3)

其中 kappa_i=0 或 1/2, theta_i 是實數，彼此之間以及與 -a^2, -b^2, 和 -c^2 均不相等，並且

1/2n=m+kappa_1+kappa_2+kappa_3.
(4)

Byerly (1959) 使用遞推關係式顯式計算了一些橢球諧函式，他將這些函式記為 K(x), L(x), M(x), 和 N(x),

K_0(x)=1
(5)
L_0(x)=0
(6)
M_0(x)=0
(7)
N_0(x)=0
(8)
K_1(x)=x
(9)
L_1(x)=sqrt(x^2-b^2)
(10)
M_1(x)=sqrt(x^2-c^2)
(11)
N_1(x)=0
(12)
K_2^(p_1)(x)=x^2-1/3[b^2+c^2-sqrt((b^2+c^2)^2-3b^2c^2)]
(13)
K_2^(p_2)(x)=x^2-1/3[b^2+c^2+sqrt((b^2+c^2)^2-3b^2c^2)]
(14)
L_2(x)=xsqrt(x^2-b^2)
(15)
M_2(x)=xsqrt(x^2-c^2)
(16)
N_2(x)=sqrt((x^2-b^2)(x^2-c^2))
(17)
K_3^(p_1)(x)=x^3-1/5x[2(b^2+c^2)-sqrt(4(b^2+c^2)^2-15b^2c^2)]
(18)
K_3^(p_2)(x)=x^3-1/5x[2(b^2+c^2)+sqrt(4(b^2+c^2)^2-15b^2c^2)]
(19)
L_3^(q_1)(x)=sqrt(x^2-b^2)[x^2-1/5(b^2+2c^2-sqrt((b^2+2c^2)^2-5b^2c^2))]
(20)
L_3^(q_2)(x)=sqrt(x^2-b^2)[x^2-1/5(b^2+2c^2+sqrt((b^2+2c^2)^2-5b^2c^2))]
(21)
M_3^(q_1)(x)=sqrt(x^2-c^2)[x^2-1/5(2b^2+c^2-sqrt((2b^2+c^2)^2-5b^2c^2))]
(22)
M_3^(q_2)(x)=sqrt(x^2-c^2)[x^2-1/5(2b^2+c^2+sqrt((2b^2+c^2)^2-5b^2c^2))]
(23)
M_3^(q_3)(x)=xsqrt((x^2-b^2)(x^2-c^2)).
(24)

另請參閱

第二類橢球諧函式, Stieltjes 定理

使用 探索

參考文獻

Byerly, W. E. "曲線座標系中的拉普拉斯方程。橢球諧函式。" Ch. 8 in 傅立葉級數以及球諧函式、柱諧函式和橢球諧函式基礎教程，附帶在數學物理問題中的應用。 New York: Dover, pp. 251-266, 1959.Humbert, P. Lamé 函式和 Mathieu 函式。 Paris: Gauthier-Villars, 1926.Whittaker, E. T. and Watson, G. N. 現代分析教程，第 4 版。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.

在 中引用

第一類橢球諧函式

請引用本文為

Weisstein, Eric W. "第一類橢球諧函式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/EllipsoidalHarmonicoftheFirstKind.html

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