球諧函式

球諧函式 是 拉普拉斯方程 在 球座標系 中當不存在方位角對稱性時的解的角度部分。在識別所使用的符號約定方面必須謹慎。在本條目中， 被視為極（餘緯）座標，其中 ，而 被視為方位角（經度）座標，其中 。這是物理學中常用的約定，正如 Arfken (1985) 和 Wolfram 語言 所描述的那樣（在數學文獻中， 通常表示經度座標，而 表示餘緯座標）。球諧函式在 Wolfram 語言 中實現為SphericalHarmonicY[l, m, theta, phi].

球諧函式滿足 球諧微分方程，該方程由 拉普拉斯方程 在 球座標系 中的角度部分給出。在這個方程中寫入 得到

(1)

乘以 得到

(2)

使用 分離變數法，透過將 相關部分等同於常數，得到

(3)

其解為

(4)

將 (3) 代入 (2) 得到 相關部分的方程，其解為

(5)

其中 , , ..., 0, ..., , 且 是一個 締合勒讓德多項式。然後透過組合 和 定義球諧函式，

(6)

其中選擇歸一化使得

(7)

（Arfken 1985, p. 681）。這裡， 表示 複共軛，而 是 克羅內克 delta。有時（例如，Arfken 1985），Condon-Shortley 相位 被預先新增到球諧函式的定義中。

球諧函式有時會分為它們的 實部 和 虛部，

(8)

(9)

球諧函式服從

			(10)
			(11)
			(12)

其中 是 勒讓德多項式。

球諧函式的積分由下式給出

(13)

其中 是一個 維格納 3j 符號（它與 克萊佈施-戈爾丹係數 相關）。特殊情況包括

			(14)
			(15)
			(16)
			(17)

（Arfken 1985, p. 700）。

以上圖示顯示了 （頂部），（左下），和 （右下）。前幾個球諧函式是

			(18)
			(19)
			(20)
			(21)
			(22)
			(23)
			(24)
			(25)
			(26)
			(27)
			(28)
			(29)
			(30)
			(31)
			(32)
			(33)

用 笛卡爾座標系 表示，

			(34)
			(35)
			(36)

因此

			(37)
			(38)
			(39)
			(40)
			(41)
			(42)

帶諧函式 被定義為 形式為

(43)

扇諧函式 是 形式為

(44)

(45)

對於 。節諧函式 是 形式為

(46)

(47)