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拉普拉斯級數

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球諧函式構成一個完備正交系，因此任意實函式 f(theta,phi) 可以根據復球諧函式展開為

f(theta,phi)=sum_(l=0)^inftysum_(m=0)^lA_l^mY_l^m(theta,phi),
(1)

或者根據實球諧函式展開為

f(theta,phi)=sum_(l=0)^inftysum_(m=0)^l[C_l^mY_l^m^c(theta,phi)+S_l^mY_l^m^s(theta,phi)].
(2)

函式 f(theta,phi) 表示為這樣的雙重級數是一種廣義傅立葉級數，稱為拉普拉斯級數。

確定 (1) 中係數 A_l^m 的過程類似於確定傅立葉級數中的係數的過程，即，將 (1) 的兩邊乘以 Y^__(l^')^(m^')(theta,phi)，積分，並使用正交關係 (◇) 以獲得

int_0^(2pi)int_0^pif(theta,phi)Y^__(l^')^(m^')(theta,phi)sinthetadthetadphi =sum_(l=0)^inftysum_(m=0)^lint_0^(2pi)int_0^piA_l^mY_l^m(theta,phi)Y^__(l^')^(m^')(theta,phi)sinthetadthetadphi =sum_(l=0)^inftysum_(m=0)^lA_l^mdelta_(ll^')delta_(mm^') =A_l^m.
(3)

以下圖序顯示了函式 f(theta,phi)=3+cos^3(2theta)+(sinphi)/2 的逐次逼近，該函式在最後一張圖中進行了說明。

SphericalHarmonicSeries

拉普拉斯級數也可以用實球諧函式表示為

f(theta,phi)=sum_(l=0)^inftysum_(m=0)^l[C_l^mcos(mphi)+S_l^msin(mphi)]P_l^m(costheta).
(4)

如前所述，使用正交關係

int_0^(2pi)int_0^piP_l^m(costheta)cos(mphi)P_(l^')^(m^')(costheta)cos(m^'phi)sin(theta)dthetadphi =-(2pi(l+m)!)/((2l+1)(l-m)!)delta_(mm^')delta_(ll^') int_0^(2pi)int_0^piP_l^m(costheta)sin(mphi)P_(l^')^(m^')(costheta)sin(m^'phi)sinthetadthetadphi =-(2pi(l+m)!)/((2l+1)(l-m)!)delta_(mm^')delta_(ll^').
(5)

因此 C_l^m 和 S_l^m 由下式給出

C_l^m=-((2l+1)(l-m)!)/(2pi(l+m)!)int_0^(2pi)int_0^pif(theta,phi)P_l^mcosthetacos(mphi)sinthetadthetadphi
(6)
S_l^m=-((2l+1)(l-m)!)/(2pi(l+m)!)int_0^(2pi)int_0^pif(theta,phi)P_l^mcosthetasin(mphi)sinthetadthetadphi.
(7)

另請參閱

完備正交系, 傅立葉-勒讓德級數, 傅立葉級數, 廣義傅立葉級數, 球諧函式

使用 探索

請引用為

Weisstein, Eric W. "拉普拉斯級數。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/LaplaceSeries.html

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