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傅立葉-勒讓德級數

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由於勒讓德多項式在區間 [-1,1] 上關於權函式 w(x)=1 構成完備正交系，任何函式 f(x) 都可以用它們展開，形式如下：

f(x)=sum_(n=0)^inftya_nP_n(x).
(1)

為了獲得展開式中的係數 a_n，將等式兩邊乘以 P_m(x) 並積分

int_(-1)^1P_m(x)f(x)dx=sum_(n=0)^inftya_nint_(-1)^1P_n(x)P_m(x)dx.
(2)

但是勒讓德多項式服從以下正交關係

int_(-1)^1P_n(x)P_m(x)dx=2/(2m+1)delta_(mn),
(3)

其中 delta_(mn) 是克羅內克 delta，所以

int_(-1)^1P_m(x)f(x)dx=sum_(n=0)^(infty)a_n2/(2m+1)delta_(mn)
(4)
=2/(2m+1)a_m
(5)

並且

a_m=(2m+1)/2int_(-1)^1P_m(x)f(x)dx.
(6)

例如，對於 f(x)=sin(pix)，傅立葉-勒讓德級數的前幾項是

f(x)=3/piP_1(x)+(7(pi^2-15))/(pi^3)P_3(x)+(11(pi^4-105pi^2+945))/(pi^5)P_5(x)+....
(7)

另請參閱

傅立葉-貝塞爾級數, 傅立葉級數, 廣義傅立葉級數, 傑克遜定理, 拉普拉斯級數, 勒讓德多項式, 皮科內定理

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參考文獻

Kaplan, W. "傅立葉-勒讓德級數。" §7.14 in 高等微積分，第 4 版。 Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 508-512, 1992.

在 中被引用

傅立葉-勒讓德級數

請引用為

Weisstein, Eric W. "傅立葉-勒讓德級數。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Fourier-LegendreSeries.html

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