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皮科內定理

設 f(x) 在 [-1,1] 上可積，設 (1-x^2)f(x) 在 [-1,1] 上是有界變差的，設 M^' 表示 |f(x)(1-x^2)| 在 [-1,1] 上的最小上界，且設 V^' 表示 f(x)(1-x^2) 在 [-1,1] 上的全變差。給定函式

F(x)=F(-1)+int_1^xf(x)dx,
(1)

則其傅立葉-勒讓德級數的項

F(x)∼sum_(n=0)^inftya_nP_n(x)
(2)
a_n=1/2(2n+1)int_(-1)^1F(x)P_n(x)dx,
(3)

其中 P_n(x) 是勒讓德多項式，滿足不等式

|a_nP_n(x)|<{8sqrt(2/pi)(M^'+V^')/((1-delta^2)^(1/4))n^(-3/2) for |x|<=delta<1; 2(M^'+V^')n^(-1) for |x|<=1
(4)

對於 n>=1 (Sansone 1991)。

另請參閱

傅立葉-勒讓德級數, 傑克遜定理

使用 探索

參考文獻

Picone, M. Appunti di Analise Superiore. Naples, Italy, p. 260, 1940.Sansone, G. Orthogonal Functions, rev. English ed. 紐約: Dover出版社, pp. 203-205, 1991.

在 中被引用

皮科內定理

引用本文為

韋斯坦, 埃裡克·W. “皮科內定理。” 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/PiconesTheorem.html

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