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傅立葉-貝塞爾級數

設 n>=0 且 alpha_1, alpha_2, ...為 正 根 J_n(x)=0，其中 J_n(z) 是 第一類貝塞爾函式。在區間 (0,1) 上，將函式展開為 第一類貝塞爾函式

f(x)=sum_(r=1)^inftyA_rJ_n(xalpha_r),
(1)

具有如下係數

int_0^1xf(x)J_n(xalpha_l)dx=sum_(r=1)^inftyA_rint_0^1xJ_n(xalpha_r)J_n(xalpha_l)dx.
(2)

但正交性 貝塞爾函式 根 給出

int_0^1xJ_n(xalpha_l)J_n(xalpha_r)dx=1/2delta_(l,r)[J_(n+1)(alpha_r)]^2
(3)

(Bowman 1958, p. 108)，因此

int_0^1xf(x)J_n(xalpha_l)dx=1/2sum_(r=1)^(infty)A_rdelta_(l,r)[J_(n+1)(alpha_r)]^2
(4)
=1/2A_l[J_(n+1)(alpha_l)]^2,
(5)

係數由下式給出

A_l=2/([J_(n+1)(alpha_l)]^2)int_0^1xf(x)J_n(xalpha_l)dx.
(6)

另請參閱

貝塞爾函式諾伊曼級數, 傅立葉-勒讓德級數, 傅立葉級數, 廣義傅立葉級數, 施勒米爾希級數

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參考文獻

Bowman, F. 貝塞爾函式導論。 New York: Dover, 1958.Kaplan, W. "傅立葉-貝塞爾級數。" §7.15 in 高等微積分，第 4 版。 Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 512-518, 1992.

在 中被引用

傅立葉-貝塞爾級數

請引用為

韋斯坦因，埃裡克·W. "傅立葉-貝塞爾級數。" 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/Fourier-BesselSeries.html

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