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Schlömilch 級數

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一個類似於 傅立葉級數 的二次連續可微函式的展開式

f(x)=1/2a_0+sum_(n=1)^inftya_nJ_0(nx)
(1)

對於 0<x<pi, 其中 J_0(x) 是第一類零階 貝塞爾函式。係數由下式給出

a_0=2f(0)+2/piint_0^piint_0^(pi/2)uf^'(usinphi)dphidu
(2)
a_n=2/piint_0^piint_0^(pi/2)uf^'(usinphi)cos(nu)dphidu
(3)

(Gradshteyn and Ryzhik 2000, p. 926), 其中 f^'(x)=df/dx，應注意避免 Iyanaga 和 Kawada (1980) 以及 Itô (1986) 中的兩個印刷錯誤。

SchloemilchSeries

例如，考慮 f(x)=x，其導數為 f^'(x)=1，因此

a_0=0+2/piint_0^piint_0^(pi/2)udphidu
(4)
=1/2pi^2
(5)
a_n=2/piint_0^piint_0^(pi/2)ucos(nu)dphidu
(6)
=(-1+(-1)^n)/(n^2)
(7)
={0 for n even; -2/(n^2) for n odd,
(8)

所以

x=1/4pi^2-2sum_(n=1,3,...)^infty(J_0(nx))/(n^2)
(9)

(Whittaker and Watson 1990, p. 378; Gradshteyn and Ryzhik 2000, p. 926)。上面用包含 1 項（紅色）、2 項（綠色）、3 項（藍色）和 4 項（紫色）進行了說明。

類似地，對於 -pi<x<pi，

x^2=(2pi^2)/3+8sum_(n=1)^infty((-1)^n)/(n^2)J_0(nx).
(10)

另請參閱

第一類貝塞爾函式, 傅立葉-貝塞爾級數, 傅立葉級數

使用 探索

參考文獻

Chapman. Quart. J. 43, 34-37, 1912.Gradshteyn, I. S. 和 Ryzhik, I. M. "級數 sumA_kJ_0(kx)。" 積分表、級數及乘積表，第 6 版。 San Diego, CA: Academic Press, p. 926, 2000.Itô, K. (Ed.). 數學百科辭典，第 2 版，卷 2。 Cambridge, MA: MIT Press, p. 1803, 1986.Iyanaga, S. 和 Kawada, Y. (Eds.). 數學百科辭典。 Cambridge, MA: MIT Press, p. 1473, 1980.Schlömilch. Z. für Math. Phys. 3, 137-165, 1857.Whittaker, E. T. 和 Watson, G. N. "零階貝塞爾係數級數中任意函式的 Schlömilch 展開式。" §17.82 in 現代分析教程，第 4 版。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 377-378, 1990.

在 中被引用

Schlömilch 級數

引用為

Weisstein, Eric W. "Schlömilch 級數。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/SchloemilchsSeries.html

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