傅立葉級數

傅立葉級數是將週期函式 展開為無窮正弦和餘弦和的形式。傅立葉級數利用了正交性 正弦和餘弦函式的關係。傅立葉級數的計算和研究被稱為調和分析，並且非常有用，可以將任意週期函式分解為一組簡單的項，這些項可以代入，單獨求解，然後再組合以獲得原始問題的解，或者在所需的或實際可行的精度下獲得其近似解。上面展示了使用傅立葉級數對常見函式進行逐次逼近的示例。

特別地，由於疊加原理適用於線性齊次常微分方程的解，如果這種方程可以在單個正弦曲線的情況下求解，那麼任意函式的解就可以立即獲得，透過將原始函式表示為傅立葉級數，然後代入每個正弦分量的解。在某些特殊情況下，如果傅立葉級數可以求和為閉合形式，則這種技術甚至可以產生解析解。

任何構成完備正交函式系的函式集都有一個對應的廣義傅立葉級數，類似於傅立葉級數。例如，使用第一類貝塞爾函式根的正交性可以得到所謂的傅立葉-貝塞爾級數。

（通常）傅立葉級數的計算基於積分恆等式

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對於 , 其中 是克羅內克 delta。

使用廣義傅立葉級數的方法，透過取 和 可以得到涉及正弦和餘弦的通常傅立葉級數。由於這些函式在 上構成完備正交函式系，因此函式 的傅立葉級數由下式給出

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其中

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和 , 2, 3, .... 請注意，常數項 的係數已以特殊形式編寫，與廣義傅立葉級數的一般形式相比，目的是為了保持與 和 定義的對稱性。

傅立葉餘弦係數 和正弦係數 在 Wolfram 語言 中實現為FourierCosCoefficient[expr, t, n] 和FourierSinCoefficient[expr, t, n]， 分別。

傅立葉級數收斂到函式 （在連續點等於原始函式，在不連續點等於兩個極限的平均值）

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如果函式滿足所謂的狄利克雷邊界條件。迪尼判別法給出了傅立葉級數收斂的條件。

因此，在不連續點附近，可能會出現一種稱為吉布斯現象的“振鈴”，如上圖所示。

對於在區間 上而不是 上週期性的函式 ，可以使用簡單的變數替換將積分割槽間從 變換到 。令

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解出 得到 ，代入得到

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因此，

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類似地，如果函式改為定義在區間 上，則上述方程簡單地變為

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事實上，對於週期為 的週期函式 ，可以使用任何區間 ，選擇取決於方便性或個人偏好 (Arfken 1985, p. 769)。

一些常見函式的傅立葉級數展開的係數在 Beyer (1987, pp. 411-412) 和 Byerly (1959, p. 51) 中給出。通常用這種技術分析的最常見的函式之一是方波。下表總結了一些常見函式的傅立葉級數。

函式		傅立葉級數
傅立葉級數--鋸齒波
傅立葉級數--方波
傅立葉級數--三角波

如果一個函式是偶函式，即 ，那麼 是奇函式。（這是因為 是奇函式，而偶函式乘以奇函式是奇函式。）因此，對於所有 ，。類似地，如果一個函式是奇函式，即 ，那麼 是奇函式。（這是因為 是偶函式，而偶函式乘以奇函式是奇函式。）因此，對於所有 ，。

傅立葉級數的概念也可以擴充套件到複數係數。考慮一個實值函式 。寫成

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現在考察

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因此

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係數可以用傅立葉級數中的係數來表示

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對於在 中週期性的函式，這些變為

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這些方程是極其重要的傅立葉變換的基礎，傅立葉變換是透過在長度 時將 從離散變數轉換為連續變數而獲得的。

復傅立葉係數在 Wolfram 語言 中實現為FourierCoefficient[expr, t, n]。