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餘弦

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Trigonometry
Cos

餘弦函式 cosx 是在三角學中遇到的基本函式之一（其他的有餘割、餘切、正割、正弦和正切）。設 theta 是從 x 軸沿單位圓的弧逆時針測量的角。那麼 costheta 是弧端點的水平座標。

CosineDiagram

在直角三角形中，角 theta 的餘弦的常見教科書定義（與剛剛給出的定義等效）是三角形鄰邊長度與斜邊的比率，即：

costheta=(adjacent)/(hypotenuse).
(1)

記住 正弦、餘弦和 正切 定義的方便記憶口訣是 SOHCAHTOA（正弦等於對邊比斜邊，餘弦等於鄰邊比斜邊，正切等於對邊比鄰邊）。

由於其定義，餘弦函式是週期函式，週期為 2pi。根據 勾股定理，costheta 也服從恆等式

sin^2theta+cos^2theta=1.
(2)
CosReImAbs
最小值 最大值
實部
虛部 Powered by webMathematica

餘弦函式的定義可以擴充套件到複數自變數 z，使用定義

cosz=1/2(e^(iz)+e^(-iz)),
(3)

其中 e 是自然對數的底，i 是虛數。餘弦是一個整函式，並在 Wolfram 語言中實現為Cos[z].

一個相關的函式，稱為雙曲餘弦，也類似地定義為：

coshz=1/2(e^z+e^(-z)).
(4)

餘弦函式在 0.739085... (OEIS A003957) 處有一個不動點，這個值有時被稱為 Dottie 數 (Kaplan 2007)。

餘弦函式可以用無窮級數解析地定義為

cosx=sum_(n=0)^(infty)((-1)^nx^(2n))/((2n)!)
(5)
=1-(x^2)/(2!)+(x^4)/(4!)-(x^6)/(6!)+...,
(6)

或無窮乘積

cosx=product_(n=1)^infty[1-(4x^2)/(pi^2(2n-1)^2)].
(7)
CosineHardy

對於 x in [0,1]，cos(pix/2) 的一個近似值是

H(x)=1-(x^2)/(x+(1-x)sqrt((2-x)/3))
(8)
approx cos(pi/2x)
(9)

(Hardy 1959)，其中 cos(pix/2) 和 Hardy 近似值之間的差異如上圖所示。

餘弦服從以下恆等式

cos(ntheta)=2costhetacos[(n-1)theta]-cos[(n-2)theta]
(10)

以及多倍角公式

cos(nx)=sum_(k=0)^n(n; k)cos^kxsin^(n-k)xcos[1/2(n-k)pi],
(11)

其中 (n; k) 是二項式係數。它透過以下方式與 tan(x/2) 相關

cosx=(1-tan^2(1/2x))/(1+tan^2(1/2x))
(12)

(Trott 2006, p. 39)。

從 n=0 到 N 的 cos(nx) 求和可以閉合形式完成，如下所示：

sum_(n=0)^(N)cos(nx)=R[sum_(n=0)^(N)e^(inx)]
(13)
=R[(e^(i(N+1)x)-1)/(e^(ix)-1)]
(14)
=R[(e^(i(N+1)x/2))/(e^(ix/2))(e^(i(N+1)x/2)-e^(-i(N+1)x/2))/(e^(ix/2)-e^(-ix/2))]
(15)
=(sin[1/2(N+1)x])/(sin(1/2x))R[e^(iNx/2)]
(16)
=(cos(1/2Nx)sin[1/2(N+1)x])/(sin(1/2x)).
(17)

類似地，

sum_(n=0)^inftyp^ncos(nx)=R[sum_(n=0)^inftyp^ne^(inx)],
(18)

其中 |p|<1。指數和公式給出

sum_(n=0)^(infty)p^ncos(nx)=R[(1-pe^(-ix))/(1-2pcosx+p^2)]
(19)
=(1-pcosx)/(1-2pcosx+p^2).
(20)

cos^2(kx) 的和也可以閉合形式完成，

sum_(k=0)^Ncos^2(kx)=1/4{3+2N+cscxsin[x(1+2N)]}.
(21)

cos(2pik_0x) 的傅立葉變換由下式給出

F_x[cos(2pik_0x)](k)=int_(-infty)^inftye^(-2piikx)cos(2pik_0x)dx
(22)
=1/2[delta(k-k_0)+delta(k+k_0)],
(23)

其中 delta(k) 是delta 函式。

Cvijović 和 Klinowski (1995) 指出以下級數

C_nu(alpha)=sum_(k=0)^infty(cos(2k+1)alpha)/((2k+1)^nu)
(24)

當 nu=2n 時有閉合形式，

C_(2n)(alpha)=((-1)^n)/(4(2n-1)!)pi^(2n)E_(2n-1)(alpha/pi),
(25)

其中 E_n(x) 是尤拉多項式。

涉及 cosx 的定積分由下式給出

int_0^inftycos(x^n)dx=Gamma(1+1/n)cos(pi/(2n))
(26)

對於 n>1，其中 Gamma(z) 是伽瑪函式 (T. Drane, 私人通訊，2006 年 4 月 21 日)。

另請參閱

Cis, Dottie Number, 初等函式, 尤拉多項式, 指數和公式, 傅立葉變換--餘弦, 雙曲餘弦, 反餘弦, 正割, 正弦, SOHCAHTOA, 正切, 三角函式, 三角學 在 課堂中探索此主題

相關的 Wolfram 網站

http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Cos/

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參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (編輯). "Circular Functions." §4.3 in 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 版。 New York: Dover, pp. 71-79, 1972.Beyer, W. H. CRC 標準數學表格，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 215, 1987.Cvijović, D. 和 Klinowski, J. "Closed-Form Summation of Some Trigonometric Series." Math. Comput. 64, 205-210, 1995.Hansen, E. R. 級數與乘積表。 Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1975.Hardy, G. H. 拉馬努金：關於其生平和工作啟發的十二講座，第 3 版。 New York: Chelsea, p. 68, 1959.Jeffrey, A. "Trigonometric Identities." §2.4 in 數學公式與積分手冊，第 2 版。 Orlando, FL: Academic Press, pp. 111-117, 2000.Kaplan, S. R. "The Dottie Number." Math. Mag. 80, 73-74, 2007.Project Mathematics. "Sines and Cosines, Parts I-III." Videotape. http://www.projectmathematics.com/sincos1.htm.Sloane, N. J. A. Sequence A003957 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "The Sine sin(x) and Cosine cos(x) Functions." Ch. 32 in 函式圖集。 Washington, DC: Hemisphere, pp. 295-310, 1987.Tropfke, J. Teil IB, §1. "Die Begriffe des Sinus und Kosinus eines Winkels." In Geschichte der Elementar-Mathematik in systematischer Darstellung mit besonderer Berücksichtigung der Fachwörter, fünfter Band, zweite aufl. Berlin and Leipzig, Germany: de Gruyter, pp. 11-23, 1923.Trott, M. Mathematica 符號指南。 New York: Springer-Verlag, 2006. http://www.mathematicaguidebooks.org/.Zwillinger, D. (編輯). "Trigonometric or Circular Functions." §6.1 in CRC 標準數學表格和公式。 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 452-460, 1995.

在 中被引用

餘弦

引用為

Weisstein, Eric W. "餘弦。" 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/Cosine.html

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