單位圓

單位圓是半徑為 1 的圓，即單位半徑的圓。

單位圓在數學的許多不同領域中起著重要的作用。 例如，三角函式最簡單地使用單位圓定義。 如上圖所示，單位圓弧上以角度標準位置 角的終邊上的點 的座標為 ，因此 是 的水平座標，而 是其垂直分量。

由於這個定義，三角函式是週期函式，週期為 。

這個定義的另一個直接結果是能夠以很少的計算顯式寫出單位圓上許多點的座標。 例如，在上圖中，點 、、 和 分別對應於 、、 和 弧度的角，因此得出 、、 和 。 類似地，此方法可用於查詢與 的整數倍相關的三角函式值，以及透過半形公式、倍角公式和其他多倍角公式獲得的其他一些角的三角函式值。

單位圓也可以被認為是複平面中由 定義的輪廓，其中 表示復模。

單位圓的這個作用也有許多重要的結果，其中最重要的是在應用複分析中，Z 變換簡化為離散傅立葉變換的複平面的子集。

從另一個角度來看，在雙曲幾何的龐加萊雙曲盤和克萊因-貝爾特拉米模型中，單位圓被視為二維雙曲平面 的所謂理想邊界。 在這兩種模型中，雙曲平面都被視為開單位圓盤，因此單位圓代表 中序列的無限極限點的集合。