拉普拉斯變換

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拉普拉斯變換是一種積分變換，其在解決物理問題中的效用可能僅次於傅立葉變換。拉普拉斯變換在求解線性常微分方程時特別有用，例如在電子電路分析中出現的那些方程。

（單邊）拉普拉斯變換（不要與李導數混淆，李導數也常表示為）定義為

(1)

其中的定義域為 (Abramowitz and Stegun 1972)。單邊拉普拉斯變換幾乎總是“拉普拉斯變換”的含義，儘管有時也定義了雙邊拉普拉斯變換為

(2)

(Oppenheim et al. 1997)。單邊拉普拉斯變換在 Wolfram 語言中實現為LaplaceTransform[f[t], t, s]，逆拉普拉斯變換為InverseRadonTransform.

逆拉普拉斯變換被稱為布羅姆維奇積分，有時也稱為傅立葉-梅林積分（另請參閱相關的杜哈梅爾卷積原理）。

下面給出了幾個重要單邊拉普拉斯變換的表格。

		條件
1











	${1/s for c<=0; (e^(-cs))/s for c>0$

在上表中，是零階第一類貝塞爾函式，是狄拉克δ函式，是單位階躍函式。

拉普拉斯變換具有許多重要性質。拉普拉斯變換存在性定理指出，如果在中的每個有限區間上是分段連續的，且滿足

(3)

對於所有，則對於所有都存在。拉普拉斯變換也是唯一的，從某種意義上說，給定兩個函式和具有相同的變換，使得

(4)

那麼勒奇定理保證積分

(5)

對於所有，對於由下式定義的零函式都消失

(6)

拉普拉斯變換是線性的，因為

			(7)
			(8)
			(9)

卷積的拉普拉斯變換由下式給出

(10)

現在考慮微分。設在中是次連續可微的。如果，則

(11)

這可以透過分部積分來證明，

			(12)
		$lim_(a->infty){[e^(-st)f(t)]_0^a+sint_0^ae^(-st)f(t)dt}$	(13)
			(14)
			(15)

繼續對高階導數進行計算，得到

(16)

此性質可用於將微分方程轉換為代數方程，此過程稱為亥維賽德演算，然後可以進行逆變換以獲得解。例如，將拉普拉斯變換應用於方程

(17)

得到

${s^2L_t[f(t)](s)-sf(0)-f^'(0)}+a_1{sL_t[f(t)](s)-f(0)} +a_0L_t[f(t)](s)=0$

(18)

(19)

可以重新排列為

(20)

如果此方程可以進行逆拉普拉斯變換，則原微分方程就解出來了。

拉普拉斯變換滿足許多有用的性質。考慮指數運算。如果對於（即，是的拉普拉斯變換），則對於。這推導自

			(21)
			(22)
			(23)

當應用於函式的積分時，拉普拉斯變換也具有良好的性質。如果是分段連續的，且，則

(24)

另請參閱

雙邊拉普拉斯變換, 布羅姆維奇積分, 傅立葉-梅林積分, 傅立葉變換, 積分變換, 拉普拉斯-斯蒂爾傑斯變換, 運算數學, 單邊拉普拉斯變換在課堂中探索此主題

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參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Laplace Transforms." Ch. 29 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 1019-1030, 1972.Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 824-863, 1985.Churchill, R. V. Operational Mathematics. New York: McGraw-Hill, 1958.Doetsch, G. Introduction to the Theory and Application of the Laplace Transformation. Berlin: Springer-Verlag, 1974.Franklin, P. An Introduction to Fourier Methods and the Laplace Transformation. New York: Dover, 1958.Graf, U. Applied Laplace Transforms and z-Transforms for Scientists and Engineers: A Computational Approach using a Mathematica Package. Basel, Switzerland: Birkhäuser, 2004.Jaeger, J. C. and Newstead, G. H. An Introduction to the Laplace Transformation with Engineering Applications. London: Methuen, 1949.Henrici, P. Applied and Computational Complex Analysis, Vol. 2: Special Functions, Integral Transforms, Asymptotics, Continued Fractions. New York: Wiley, pp. 322-350, 1991.Krantz, S. G. "The Laplace Transform." §15.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 212-214, 1999.Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 467-469, 1953.Oberhettinger, F. Tables of Laplace Transforms. New York: Springer-Verlag, 1973.Oppenheim, A. V.; Willsky, A. S.; and Nawab, S. H. Signals and Systems, 2nd ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, 1997.Prudnikov, A. P.; Brychkov, Yu. A.; and Marichev, O. I. Integrals and Series, Vol. 4: Direct Laplace Transforms. New York: Gordon and Breach, 1992.Prudnikov, A. P.; Brychkov, Yu. A.; and Marichev, O. I. Integrals and Series, Vol. 5: Inverse Laplace Transforms. New York: Gordon and Breach, 1992.Spiegel, M. R. Theory and Problems of Laplace Transforms. New York: McGraw-Hill, 1965.Weisstein, E. W. "Books about Laplace Transforms." http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/LaplaceTransforms.html.Widder, D. V. The Laplace Transform. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1941.Zwillinger, D. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 231 and 543, 1995.

在上被引用

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Weisstein, Eric W. "Laplace Transform." 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/LaplaceTransform.html

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