主題
Search

分部積分法

分部積分法是一種透過展開函式乘積的微分 d(uv) 並將原始積分用已知積分 intvdu 表示，來執行不定積分 intudv 或定積分 int_a^budv 的技巧。 單次分部積分從以下公式開始

d(uv)=udv+vdu,
(1)

並對兩邊積分，

intd(uv)=uv=intudv+intvdu.
(2)

整理得到

intudv=uv-intvdu.
(3)

例如，考慮積分 intxcosxdx 並令

u=x dv=cosxdx
(4)
du=dx v=sinx,
(5)

所以分部積分法給出

intxcosxdx=xsinx-intsinxdx
(6)
=xsinx+cosx+C,
(7)

其中 C 是一個積分常數。

該程式並非總是成功，因為 u 的某些選擇可能會導致比原始積分更復雜的積分。 例如，再次考慮積分 intxcosxdx 並令

u=cosx dv=xdx du=-sinxdx v=1/2x^2,
(8)

得到

intxcosxdx=1/2x^2cosx-1/2intx^2(-sinx)dx
(9)
=1/2x^2cosx+1/2intx^2sinxdx,
(10)

這比原始積分更難（Apostol 1967，第218-219頁）。

分部積分法也可能失敗，因為它會導致回到原始積分。 例如，考慮 intx^(-1)dx 並令

u=x dv=x^(-2)dx du=dx v=-x^(-1),
(11)

那麼

intx^(-1)dx=-1-int(-x^(-1))dx+C=intx^(-1)dx+C-1,
(12)

這與原始積分相同 (Apostol 1967, p. 219)。

類似的程式適用於定積分分部積分法，所以

int_a^budv=[uv]_a^b-int_a^bvdu,
(13)

其中 [f]_a^b=f(b)-f(a)。

分部積分法也可以應用 n 次於 intf^((n))(x)g(x)dx

u=g(x) dv=f^((n))(x)dx du=g^'(x)dx v=f^((n-1))(x).
(14)

因此，

intf^((n))(x)g(x)dx=g(x)f^((n-1))(x)-intf^((n-1))(x)g^'(x)dx.
(15)

但是

intf^((n-1))(x)g^'(x)dx=g^'(x)f^((n-2))(x)-intf^((n-2))(x)g^('')(x)dx
(16)
intf^((n-2))(x)g^('')(x)dx=g^('')(x)f^((n-3))(x)-intf^((n-3))(x)g^((3))(x)dx,
(17)

所以

intf^((n))(x)g(x)dx=g(x)f^((n-1))(x)-g^'(x)f^((n-2))(x) +g^('')(x)f^((n-3))(x)-...+(-1)^nintf(x)g^((n))(x)dx.
(18)

現在考慮稍微不同的形式 intf(x)g(x)dx。 第一次分部積分

u=f(x) dv=g(x)dx du=f^'(x)dx v=intg(x)dx,
(19)

所以

intf(x)g(x)dx=f(x)intg(x)dx-int[intg(x)dx]f^'(x)dx.
(20)

現在第二次分部積分，

u=f^'(x) dv=intg(x)dx du=f^('')(x)dx v=intintg(x)(dx)^2,
(21)

所以

intf(x)g(x)dx=f(x)intg(x)dx-f^'(x)intintg(x)(dx)^2+int[intintg(x)(dx)^2]f^('')(x)dx.
(22)

第三次重複，

intf(x)g(x)dx=f(x)intg(x)dx-f^'(x)intintg(x)(dx)^2+f^('')(x)intintintg(x)(dx)^3-int[intintintg(x)(dx)^3]f^(''')(x)dx.
(23)

因此，在 n 次應用後，

intf(x)g(x)dx=f(x)intg(x)dx-f^'(x)intintg(x)(dx)^2+f^('')(x)intintintg(x)(dx)^3-...+(-1)^(n+1)f^((n))(x)int...int_()_(n+1)g(x)(dx)^(n+1)+(-1)^nint[int...int_()_(n+1)g(x)(dx)^(n+1)]f^((n+1))(x)dx.
(24)

如果 f^((n+1))(x)=0 （例如，對於一個 n 次多項式），最後一項為 0，所以求和在 n 項後終止，並且

intf(x)g(x)dx=f(x)intg(x)dx-f^'(x)intintg(x)(dx)^2+f^('')(x)intintintg(x)(dx)^3-...+(-1)^(n+1)f^((n))(x)int...int_()_(n+1)g(x)(dx)^(n+1).
(25)

另請參閱

達布公式, 積分, 積分, 反函式積分, 分部求和法

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (編). 數學函式手冊：公式、圖表與數學表格，第9版. 紐約: Dover, p. 12, 1972.Apostol, T. M. "分部積分法." §5.9 in 微積分，第2版，卷. 1: 單變數微積分，附線性代數導論. Waltham, MA: Blaisdell, pp. 217-220, 1967.Bronshtein, I. N. 和 Semendyayev, K. A. 數學手冊，第3版. 紐約: Springer-Verlag, p. 269, 1997.

請引用為

Eric W. Weisstein "分部積分法。" 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/IntegrationbyParts.html

主題分類