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Darboux 公式

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Darboux 公式是關於函式在無窮級數中展開的定理，本質上包括對特定被積函式乘積進行分部積分。泰勒級數可以作為該公式的特例獲得，其可以表述如下。

設 f(z) 在連線 a 到 z 的線段上的所有點處解析，並設 phi(t) 為關於 t 的 多項式，其階數為 n。那麼如果 0<=t<=1，微分得到

d/(dt)sum_(m=1)^infty(-1)^m(z-a)^mphi^((n-m))(t)f^((m))(a+t(z-a)) =-(z-a)phi^((n))(t)f^'(a+t(z-a))+(-1)^n(z-a)^(n+1)phi(t)f^((n+1))(a+t(z-a)).

但是 phi^((n))(t)=phi^((n))(0)，因此對 t 在 0 到 1 區間積分得到

phi^((n))(0)[f(z)-f(a)]=sum_(m=1)^n(-1)^(m-1)(z-a)^m[phi^((n-m))(1)f^((m))(z) -phi^((n-m))(0)f^((m))(a)]+(-1)^n(z-a)^(n+1)int_0^1phi(t)f^((n+1))(a+t(z-a))dt.

透過令 phi(t)=(t-1)^n 且令 n->infty (Whittaker and Watson 1990, p. 125)，可以得到泰勒級數。

另請參閱

Bürmann 定理, Euler-Maclaurin 積分公式, 分部積分, 麥克勞林級數, 泰勒級數

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參考文獻

Whittaker, E. T. 和 Watson, G. N. “Darboux 公式。” 現代分析教程，第 4 版 §7.1。英國劍橋：劍橋大學出版社，第 125 頁，1990 年。

在 中被引用

Darboux 公式

請引用為

Weisstein, Eric W. “Darboux 公式。” 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/DarbouxsFormula.html

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