比爾曼定理

比爾曼定理涉及將函式展開為另一個函式的冪級數。設 是 的函式，它在閉區域 內解析，其中 是一個內點，且設 。假設 。那麼 泰勒定理 給出了展開式

(1)

並且，如果可以合法地反轉這個級數，則得到表示式

(2)

它將 表示為變數 的 解析函式，對於足夠小的 值。如果 在 附近解析，則 是 的 解析函式，當 足夠小時，因此會存在以下形式的展開式

(3)

（Whittaker 和 Watson 1990，第 129 頁）。

展開式中的實際係數由以下定理給出，通常稱為比爾曼定理（Whittaker 和 Watson 1990，第 129 頁）。設 是由方程定義的 的函式

(4)

那麼 解析函式 可以在 的某個值域內，展開成以下形式

(5)

其中餘項是

(6)

且 是 -平面內包圍點 和 的 輪廓線，使得如果 是 內的任何點，則方程 在 輪廓線 上或內部沒有根，除了一個簡單的根 （Whittaker 和 Watson 1990，第 129 頁）。

泰謝拉定理 是比爾曼定理的擴充套件形式。拉格朗日反演定理 給出了另一個這樣的擴充套件。