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泰勒公式

泰勒公式指出，任何滿足特定條件的函式都可以用 泰勒級數 表示，

f(x)=f(0)+xf^'(0)+(x^2)/(2!)f^('')(0)+...+(x^(n-1))/((n-1)!)f^((n-1))(0) +int_0^x((x-u)^(n-1))/((n-1)!)f^((n))(u)du.

泰勒公式（不含餘項）由泰勒於 1712 年構思並在 1715 年發表，儘管格雷戈裡實際上在近 40 年前就已獲得此結果。事實上，格雷戈裡在 1671 年 2 月 15 日寫信給皇家學會秘書約翰·柯林斯，告訴他這個結果。格雷戈裡似乎發現該定理的實際筆記存在於格雷戈裡於 1671 年 1 月 30 日收到的一位愛丁堡書商的信件背面，該信件儲存在聖安德魯斯大學圖書館。（P. Clive，私人通訊，2005 年 9 月 8 日）。

然而，直到泰勒發表後近一個世紀，拉格朗日和柯西才推匯出有限項數後餘項的近似值 (Moritz 1937)。這些形式現在被稱為 拉格朗日餘項 和 柯西餘項。

大多數現代證明都基於 Cox (1851) 的證明，該證明比柯西和拉格朗日的證明更基本 (Moritz 1937)，Pringsheim (1900) 將其稱為“在簡易性和強度方面幾乎無可挑剔” (Moritz 1937)。

另請參閱

柯西餘項, 拉格朗日餘項, 泰勒級數

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參考文獻

Cox, H. Cambridge and Dublin Math. J. 6, 80, 1851.Dehn, M. 和 Hellinger, D. "James Gregory 的某些數學成就。" Amer. Math. Monthly 50, 149-163, 1943.Jeffreys, H. 和 Jeffreys, B. S. "泰勒公式。" §1.133 in 數學物理方法，第 3 版。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 50-51, 1988.Malet, A. James Gregorie (1638-1675) 研究。 Ph.D. 論文. Princeton, NJ: Princeton University, 1989.Malet, A. "James Gregorie 論切線和級數展開的 '泰勒' 規則。" Archive for History of Exact Science 46, 97-137, 1993-1994.Moritz, R. E. "關於泰勒公式的註釋。" Amer. Math. Monthly 44, 31-33, 1937.Pringsheim, A. "Zur Geschichte des Taylorschen Lehrsatzes." Bibliotheca Math. 1, 433-479, 1900.Todhunter, I. 微分學教程及大量例題，第 10 版。 London: Macmillan, p. 75, 1890.Turnbull, H. W. (Ed.). James Gregory：三百年紀念文集。 London: Bell, 1939.

在 上引用

泰勒公式

請引用為

Weisstein, Eric W. "泰勒公式。" 來自 -- Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/TaylorsTheorem.html

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