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拉格朗日餘項

給定一個泰勒級數

f(x)=f(x_0)+(x-x_0)f^'(x_0)+((x-x_0)^2)/(2!)f^('')(x_0)+... +((x-x_0)^n)/(n!)f^((n))(x_0)+R_n,
(1)

經過 n 項後的誤差 R_n 由下式給出

R_n=int_(x_0)^xf^((n+1))(t)((x-t)^n)/(n!)dt.
(2)

使用均值定理，這可以被重寫為

R_n=(f^((n+1))(x^*))/((n+1)!)(x-x_0)^(n+1)
(3)

對於某些 x^* in (x_0,x) (Abramowitz and Stegun 1972, p. 880)。

請注意，拉格朗日餘項 R_n 有時也被用來指在泰勒級數中取到 (n-1) 次冪項時的餘項，並且有時使用一種表示法，其中 h->x-x_0, x^*->a+thetah, 以及 x-x^*->1-theta (Blumenthal 1926; Whittaker and Watson 1990, pp. 95-96)。

另請參閱

柯西餘項, 施勒米爾希餘項, 泰勒不等式, 泰勒級數

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參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (編). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 第 9 版. New York: Dover, 1972.Beesack, P. R. "A General Form of the Remainder in Taylor's Theorem." Amer. Math. Monthly 73, 64-67, 1966.Blumenthal, L. M. "Concerning the Remainder Term in Taylor's Formula." Amer. Math. Monthly 33, 424-426, 1926.Firey, W. J. "Remainder Formulae in Taylor's Theorem." Amer. Math. Monthly 67, 903-905, 1960.Fulks, W. Advanced Calculus: An Introduction to Analysis, 4th ed. New York: Wiley, p. 137, 1961.Nicholas, C. P. "Taylor's Theorem in a First Course." Amer. Math. Monthly 58, 559-562, 1951.Poffald, E. I. "The Remainder in Taylor's Formula." Amer. Math. Monthly 97, 205-213, 1990.Whittaker, E. T. and Watson, G. N. "Forms of the Remainder in Taylor's Series." §5.41 in A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 95-96, 1990.

在 中被引用

拉格朗日餘項

請引用為

韋斯坦因，埃裡克·W. "拉格朗日餘項。" 來自 -- 資源。 https://mathworld.tw/LagrangeRemainder.html

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