泰勒級數 -- 來自 - 數學天地

泰勒級數是關於某點的級數展開，展開物件為函式。一維泰勒級數是實函式關於點的展開，由下式給出：

(1)

如果，則該展開式被稱為麥克勞林級數。

泰勒定理（實際上由格雷戈裡首先發現）指出，任何滿足特定條件的函式都可以表示為泰勒級數。

函式關於點直到階的泰勒（或更一般的）級數可以使用以下方法找到：級數[f, x, a, n]。函式的泰勒級數的第項可以使用 Wolfram 語言計算，方法是：SeriesCoefficient[f, x, a, n] 並由逆 Z 變換給出

(2)

一些常見函式的泰勒級數包括：

			(3)
			(4)
			(5)
			(6)
			(7)
			(8)

為了推導函式的泰勒級數，請注意的第 (+1) 階導數從點到任意點的積分由下式給出：

(9)

其中是在處計算的第階導數，因此只是一個常數。現在再次積分以獲得：

int_(x_0)^x[int_(x_0)^xf^((n+1))(x)dx]dx
=int_(x_0)^x[f^((n))(x)-f^((n))(x_0)]dx
=[f^((n-1))(x)]_(x_0)^x-(x-x_0)f^((n))(x_0)
=f^((n-1))(x)-f^((n-1))(x_0)-(x-x_0)f^((n))(x_0),

(10)

其中再次是一個常數。第三次積分，

int_(x_0)^xint_(x_0)^xint_(x_0)^xf^((n+1))(x)(dx)^3=f^((n-2))(x)-f^((n-2))(x_0)
-(x-x_0)f^((n-1))(x_0)-((x-x_0)^2)/(2!)f^((n))(x_0),

(11)

並繼續進行直到次積分，然後得到：

int...int_(x_0)^x_()_(n+1)f^((n+1))(x)(dx)^(n+1)=f(x)-f(x_0)-(x-x_0)f^'(x_0)
-((x-x_0)^2)/(2!)f^('')(x_0)-...-((x-x_0)^n)/(n!)f^((n))(x_0).

(12)

重新排列後得到一維泰勒級數：

			(13)
			(14)

這裡，是一個餘項，稱為拉格朗日餘項，由下式給出：

(15)

重寫重複積分，然後得到：

(16)

現在，根據函式的均值定理，必須為真：

(17)

對於某些在 [,x] 中。因此，積分次得到結果：

(18)

（Abramowitz 和 Stegun 1972，第 880 頁），因此泰勒級數的項後的最大誤差是 (18) 在所有 in [,x] 中執行的最大值。請注意，當泰勒級數中取到 (-1) 次冪項時，拉格朗日餘項有時也指餘項（Whittaker 和 Watson 1990，第 95-96 頁）。

泰勒級數也可以為復變數函式定義。根據柯西積分公式，

			(19)
			(20)
			(21)

在的內部，

(22)

所以，使用

(23)

由此得出：

			(24)
			(25)

使用導數的柯西積分公式，

(26)

一維泰勒級數的另一種形式可以透過令

(27)

這樣：

(28)

將此結果代入 (◇) 得到：

(29)

雙變數實函式的泰勒級數由下式給出：

(30)

這可以進一步推廣到個變數的實函式：

$f(x_1,...,x_n)=sum_(j=0)^infty{1/(j!)[sum_(k=1)^n(x_k-a_k)partial/(partialx_k^')]^jf(x_1^',...,x_n^')}_(x_1^'=a_1,...,x_n^'=a_n).$

(31)

重寫：

$f(x_1+a_1,...,x_n+a_n)=sum_(j=0)^infty{1/(j!)(sum_(k=1)^na_kpartial/(partialx_k^'))^jf(x_1^',...,x_n^')}_(x_1^'=x_1,...,x_n^'=x_n).$

(32)

例如，在 (31) 中取得到：

$f(x_1,x_2)=sum_(j=0)^(infty){1/(j!)[(x_1-a_1)partial/(partialx_1^')+(x_2-a_2)partial/(partialx_2^')]^jf(x_1^',x_2^')}_(x_1^'=a_1,x_2^'=a_2)$	(33)
	(34)

在 (32) 中取得到：

$f(x_1+a_1,x_2+a_2,x_3+a_3) =sum_(j=0)^infty{1/(j!)(a_1partial/(partialx_1^')+a_2partial/(partialx_2^')+a_3partial/(partialx_3^'))^jf(x_1^',x_2^',x_3^')}_(x_1^'=x_1,x_2^'=x_2,x_3^'=x_3),$

(35)

或者，以向量形式：

(36)

零階和一階項分別是和。二階項是：

			(37)
			(38)

所以展開式的前幾項是：

(39)

泰勒級數

另請參閱

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參考資料

在上引用

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