廣義傅立葉級數

廣義傅立葉級數是基於函式的完備正交系的特殊性質的函式級數展開。這種級數的典型例子是傅立葉級數，它基於函式 和 的雙正交性（這些函式在範圍 上的積分下構成完備雙正交系）。另一個常見的例子是拉普拉斯級數，它是基於球諧函式 在 和 範圍內的正交性的雙重級數展開。

給定在區間 上的單變數函式 的完備正交系，函式 滿足以下形式的正交關係

(1)

在範圍 上，其中 是權重函式， 是給定的常數， 是克羅內克 delta。現在考慮一個任意函式 。將其寫成級數

(2)

並將其代入正交關係以獲得

(3)

請注意，在推導上述方程時，積分和求和的順序已顛倒。由於這些關係，如果存在假定形式的 的級數，則其係數將滿足

(4)

給定單變數函式的完備雙正交系，廣義傅立葉級數呈現稍微更特殊的形式。特別地，對於這樣的系統，函式 和 滿足以下形式的正交關係

			(5)
			(6)
			(7)
			(8)
			(9)

對於 ，在範圍 上，其中 和 是給定的常數， 是克羅內克 delta。現在考慮一個任意函式 並將其寫成級數

(10)

並將其代入正交關係以獲得

(11)

由於這些關係，如果存在假定形式的 的級數，則其係數將滿足

			(12)
			(13)
			(14)

透過取 和 可以恢復通常的傅立葉級數，它們在 上構成完備正交系，權重函式為 ，並注意到，對於函式的這種選擇，

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因此，函式 的傅立葉級數由下式給出

(17)

其中係數為

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			(19)
			(20)