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Parseval 定理

如果一個函式有傅立葉級數，表示為

f(x)=1/2a_0+sum_(n=1)^inftya_ncos(nx)+sum_(n=1)^inftyb_nsin(nx),
(1)

那麼 貝塞爾不等式 變為等式，稱為 Parseval 定理。從 (1),

[f(x)]^2=1/4a_0^2+a_0sum_(n=1)^infty[a_ncos(nx)+b_nsin(nx)]+sum_(n=1)^inftysum_(m=1)^infty[a_na_mcos(nx)cos(mx)+a_nb_mcos(nx)sin(mx)+a_mb_nsin(nx)cos(mx)+b_nb_msin(nx)sin(mx)].
(2)

積分

int_(-pi)^pi[f(x)]^2dx=1/4a_0^2int_(-pi)^pidx+a_0int_(-pi)^pisum_(n=1)^infty[a_ncos(nx)+b_nsin(nx)]dx+int_(-pi)^pisum_(n=1)^inftysum_(m=1)^infty[a_na_mcos(nx)cos(mx)+a_nb_mcos(nx)sin(mx)+a_mb_nsin(nx)cos(mx)+b_nb_msin(nx)sin(mx)]dx =1/4a_0^2(2pi)+0+sum_(n=1)^inftysum_(m=1)^infty[a_na_mpidelta_(nm)+0+0+b_nb_mpidelta_(nm)],
(3)

因此

1/piint_(-pi)^pi[f(x)]^2dx=1/2a_0^2+sum_(n=1)^infty(a_n^2+b_n^2).
(4)

對於 完備正交系 {phi_i}_(i=1)^infty 的 廣義傅立葉級數，也存在類似的 relationship。

對於複數 傅立葉級數，

1/(2pi)int_(-pi)^pi|f(x)|^2dx=sum_(n=-infty)^infty|a_n|^2.
(5)

另請參閱

貝塞爾不等式, 完備正交系, 傅立葉級數, 廣義傅立葉級數, 普朗歇爾定理, 功率譜

使用 探索

參考文獻

Gradshteyn, I. S. 和 Ryzhik, I. M. 積分表、級數和乘積，第 6 版。 San Diego, CA: Academic Press, p. 1101, 2000.Kaplan, W. 高等微積分，第 4 版。 Reading, MA: Addison-Wesley, p. 501, 1992.

在 中被引用

Parseval 定理

請引用為

Weisstein, Eric W. "Parseval 定理。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/ParsevalsTheorem.html

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