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普朗歇爾定理

普朗歇爾定理指出，一個函式平方模的積分等於其頻譜平方模的積分。它對應於 帕塞瓦爾定理 對於 傅立葉級數。它有時也被稱為瑞利理論，因為它最早由瑞利（Rayleigh，1889年）在研究黑體輻射時使用。1910年，普朗歇爾首次確立了該定理成立的條件 (Titchmarsh 1924; Bracewell 1965, p. 113)。

換句話說，設 E(t) 是一個函式，它足夠平滑，並且在無窮遠處衰減得足夠快，以至於其積分存在。此外，設 E(t) 和 E_nu 是 傅立葉變換 對，使得

E(t)=int_(-infty)^inftyE_nue^(-2piinut)dnu
(1)
E^_(t)=int_(-infty)^inftyE^__(nu^')e^(2piinu^'t)dnu^',
(2)

其中 z^_ 表示 複共軛。

那麼

int_(-infty)^infty|E(t)|^2dt=int_(-infty)^inftyE(t)E^_(t)dt
(3)
=int_(-infty)^infty[int_(-infty)^inftyE_nue^(-2piinut)dnuint_(-infty)^inftyE^__(nu^')e^(2piinu^'t)dnu^']dt
(4)
=int_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftyE_nuE^__(nu^')e^(2piit(nu^'-nu))dnudnu^'dt
(5)
=int_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftyE_nuE^__(nu^')e^(2piit(nu^'-nu))dtdnudnu^'
(6)
=int_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftydelta(nu^'-nu)E_nuE^__(nu^')dnudnu^'
(7)
=int_(-infty)^inftyE_nuE^__nudnu
(8)
=int_(-infty)^infty|E_nu|^2dnu.
(9)

其中 delta(x-x_0) 是 狄拉克δ函式 (或稱 德爾塔函式)。

另請參閱

傅立葉變換, 帕塞瓦爾定理, 功率譜

使用 探索

參考文獻

Bracewell, R. "瑞利定理." 傅立葉變換及其應用. New York: McGraw-Hill, pp. 112-113, 1965.Carleman, T. L'Intégrale de Fourier er questions qui s'y rattachent. Uppsala, Sweden: Almqvist and Wiksells, 1944.Rayleigh, J. W. S. "關於給定溫度下完全輻射的特性." Philos. Mag. 27, 1889. Reprinted in Scientific Papers. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1899.Titchmarsh, E. C. "對傅立葉變換理論的貢獻." Proc. London Math. Soc. 23, 279, 1924.

在 中被引用

普朗歇爾定理

請引用為

Weisstein, Eric W. "普朗歇爾定理." 來自 ——Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/PlancherelsTheorem.html

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