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Delta 函式

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Delta 函式是一個廣義函式，可以定義為一類 delta 序列的極限。Delta 函式有時被稱為“狄拉克 delta 函式”或“衝激符號” (Bracewell 1999)。它在 Wolfram 語言中被實現為DiracDelta[x]。

形式上， delta 是從一個檢驗函式空間（通常取為 Schwartz 空間 S 或所有緊支撐光滑函式空間 D）到標量域的線性泛函 f。 delta 在 f 上的作用，通常表示為 delta[f] 或 <delta,f>，然後給出任意函式 f 在 0 處的值。在工程背景下，delta 函式的泛函性質通常被忽略。

Delta 函式可以被視為 Heaviside 階躍函式的導數，

d/(dx)[H(x)]=delta(x)
(1)

(Bracewell 1999, p. 94)。

Delta 函式具有以下基本性質：

int_(-infty)^inftyf(x)delta(x-a)dx=f(a)
(2)

並且，事實上，

int_(a-epsilon)^(a+epsilon)f(x)delta(x-a)dx=f(a)
(3)

對於 epsilon>0。

其他恆等式包括：

delta(x-a)=0
(4)

對於 x!=a，以及

delta(ax)=1/(|a|)delta(x)
(5)
delta(x^2-a^2)=1/(2|a|)[delta(x+a)+delta(x-a)]
(6)

更一般地，函式 x 的 delta 函式由下式給出：

delta[g(x)]=sum_(i)(delta(x-x_i))/(|g^'(x_i)|),
(7)

其中 x_i 是 g 的根。例如，考察

delta(x^2+x-2)=delta[(x-1)(x+2)].
(8)

那麼 g^'(x)=2x+1，所以 g^'(x_1)=g^'(1)=3 且 g^'(x_2)=g^'(-2)=-3，得到

delta(x^2+x-2)=1/3delta(x-1)+1/3delta(x+2).
(9)

定義 delta 函式 delta(x) 的導數的基本方程是

intf(x)delta^((n))(x)dx=-int(partialf)/(partialx)delta^((n-1))(x)dx.
(10)

在此定義中令 f(x)=xg(x)，可得

intxg(x)delta^'(x)dx=-intdelta(x)partial/(partialx)[xg(x)]dx
(11)
=-intdelta(x)[g(x)+xg^'(x)]dx
(12)
=-intg(x)delta(x)dx,
(13)

其中第二項可以被忽略，因為 intxg^'(x)delta(x)dx=0，所以 (13) 式意味著

xdelta^'(x)=-delta(x).
(14)

一般來說，相同的步驟給出

int[x^nf(x)]delta^((n))(x)dx=(-1)^nint(partial^n[x^nf(x)])/(partialx^n)delta(x)dx,
(15)

但是由於 x 的任何冪乘以 delta(x) 的積分都為 0，因此只有常數項有貢獻。因此，所有乘以 f(x) 導數的項都消失，剩下 n!f(x)，所以

int[x^nf(x)]delta^((n))(x)dx=(-1)^nn!intf(x)delta(x)dx,
(16)

這意味著

x^ndelta^((n))(x)=(-1)^nn!delta(x).
(17)

其他涉及 delta 函式導數的恆等式包括

delta^'(-x)=-delta^'(x)
(18)
int_(-infty)^inftyf(x)delta^'(x-a)dx=-f^'(a)
(19)
(delta^'*f)(a)=int_(-infty)^inftydelta^'(a-x)f(x)dx=f^'(a)
(20)

其中 * 表示卷積，

int_(-infty)^infty|delta^'(x)|dx=infty,
(21)

和

x^2delta^'(x)=0.
(22)

一個涉及 delta(1/x) 的積分恆等式由下式給出

int_(-1)^1delta(1/x)dx=0.
(23)

Delta 函式也服從所謂的篩選性質

intf(x)delta(x-x_0)dx=f(x_0)
(24)

(Bracewell 1999, pp. 74-75)。

傅立葉級數 delta(x-a) 的展開式為

a_n=1/piint_(-pi)^pidelta(x-a)cos(nx)dx
(25)
=1/picos(na)
(26)
b_n=1/piint_(-pi)^pidelta(x-a)sin(nx)dx
(27)
=1/pisin(na),
(28)

因此

delta(x-a)=1/(2pi)+1/pisum_(n=1)^(infty)[cos(na)cos(nx)+sin(na)sin(nx)]
(29)
=1/(2pi)+1/pisum_(n=1)^(infty)cos[n(x-a)].
(30)

Delta 函式作為傅立葉變換給出為

delta(x)=F_k[1](x)=int_(-infty)^inftye^(-2piikx)dk.
(31)

類似地，

F_x^(-1)[delta(x)](k)=int_(-infty)^inftydelta(x)e^(2piikx)dx=1
(32)

(Bracewell 1999, p. 95)。更一般地，delta 函式的傅立葉變換為

F_x[delta(x-x_0)](k)=int_(-infty)^inftye^(-2piikx)delta(x-x_0)dx=e^(-2piikx_0).
(33)
DeltaFunctionEpsilon

Delta 函式可以定義為以下 epsilon->0 時的極限，

delta(x)=1/pilim_(epsilon->0)epsilon/(x^2+epsilon^2),
(34)
=lim_(epsilon->0)1/2epsilon|x|^(epsilon-1)
(35)
=lim_(epsilon->0^+)1/(2sqrt(piepsilon))e^(-x^2/(4epsilon))
(36)
=lim_(epsilon->0)1/(pix)sin(x/epsilon)
(37)
=lim_(epsilon->0)1/epsilonAi(x/epsilon)
(38)
=lim_(epsilon->0)1/epsilonJ_(1/epsilon)((x+1)/epsilon)
(39)
=lim_(epsilon->0)|1/epsilone^(-x^2/epsilon)L_n((2x)/epsilon)|,
(40)

其中 Ai(x) 是艾裡函式， J_n(x) 是第一類貝塞爾函式， L_n(x) 是任意正整數階的拉蓋爾多項式。

DeltaFunctionN

Delta 函式也可以透過 n->infty 時的極限來定義

delta(x)=lim_(n->infty)1/(2pi)(sin[(n+1/2)x])/(sin(1/2x)).
(41)

Delta 函式也可以在二維中定義，所以在二維笛卡爾座標系中

delta^2(x,y)={0 x^2+y^2!=0; infty x^2+y^2=0,
(42)
int_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftydelta^2(x,y)dxdy=1
(43)
delta^2(ax,by)=1/(|ab|)delta^2(x,y),
(44)

和

delta^2(x,y)=delta(x)delta(y).
(45)

類似地，在極座標系中，

delta^2(x,y)=(delta(r))/(pi|r|)
(46)

(Bracewell 1999, p. 85)。

在三維笛卡爾座標系中

delta^3(x,y,z)=delta^3(x)={0 x^2+y^2+z^2!=0; infty x^2+y^2+z^2=0
(47)
int_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftydelta^3(x,y,z)dxdydz=1
(48)

和

delta^3(x,y,z)=delta(x)delta(y)delta(z).
(49)

在柱座標系 (r,theta,z) 中，

delta^3(r,theta,z)=(delta(r)delta(z))/(pir).
(50)

在球座標系 (r,theta,phi) 中，

delta^3(r,theta,phi)=(delta(r))/(2pir^2)
(51)

(Bracewell 1999, p. 85)。

柱座標系中的級數展開式為

delta^3(r_1-r_2)=1/(r_1)delta(r_1-r_2)delta(theta_1-theta_2)delta(z_1-z_2)
(52)
=1/(r_1)delta(r_1-r_2)1/(2pi)sum_(m=-infty)^(infty)e^(im(theta_1-theta_2))1/(2pi)int_(-infty)^inftye^(ik(z_1-z_2))dk.
(53)

一些常微分方程的解可以用 delta(x) 的導數表示 (Kanwal 1998)。例如，微分方程

x(1-x)y^('')+(4-6x)y^'-6y=0
(54)

具有經典解

y(x)=(C_1)/(x^3)+(x^2-x-1+2(x-2)ln(x-1))/(x^3(x-1))C_2,
(55)

和分佈解

y(x)=C_1delta^('')(x)
(56)

（M. Trott，私人通訊，2006 年 1 月 19 日）。請注意，與經典解不同，n 階 ODE 的分佈解不必包含 n 個獨立常數。

另請參閱

Delta 序列, 雙峰函式, 傅立葉變換--Delta 函式, 廣義函式, 衝激符號, Poincaré-Bertrand 定理, Shah 函式, Sokhotsky 公式 在 課堂中探索此主題

相關的 Wolfram 網站

http://functions.wolfram.com/GeneralizedFunctions/DiracDelta/, http://functions.wolfram.com/GeneralizedFunctions/DiracDelta2/

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參考文獻

Arfken, G. 物理學家的數學方法，第 3 版 Orlando, FL: Academic Press, pp. 481-485, 1985.Bracewell, R. "衝激符號." Ch. 5 in 傅立葉變換及其應用，第 3 版 New York: McGraw-Hill, pp. 74-104, 2000.Dirac, P. A. M. 量子力學，第 4 版 London: Oxford University Press, 1958.Gasiorowicz, S. 量子物理學。 New York: Wiley, pp. 491-494, 1974.Kanwal, R. P. "常微分方程的應用." Ch. 6 in 廣義函式，理論與技術，第 2 版 Boston, MA: Birkhäuser, pp. 291-255, 1998.Papoulis, A. 機率、隨機變數和隨機過程，第 2 版 New York: McGraw-Hill, pp. 97-98, 1984.Spanier, J. and Oldham, K. B. "狄拉克 Delta 函式 delta(x-a)." Ch. 10 in 函式圖集。 Washington, DC: Hemisphere, pp. 79-82, 1987.van der Pol, B. and Bremmer, H. 基於雙邊拉普拉斯積分的運算微積分。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1955.

在 中被引用

Delta 函式

請引用為

Weisstein, Eric W. “Delta 函式。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/DeltaFunction.html

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