Heaviside階躍函式

Heaviside階躍函式是一個數學函式，用 , 或有時 或 (Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 1020) 表示，也稱為“單位階躍函式”。術語“Heaviside階躍函式”及其符號可以表示 分段常數函式 或 廣義函式。

當定義為分段常數函式時，Heaviside階躍函式由下式給出

(1)

(Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 1020; Bracewell 2000, p. 61)。上面的圖表顯示了這個函式（左圖），以及它在示波器上顯示的樣子（右圖）。

當定義為 廣義函式 時，它可以定義為函式 使得

(2)

對於 ，一個足夠光滑的函式 的導數，該函式衰減得足夠快 (Kanwal 1998)。

Wolfram 語言 將 Heaviside 廣義函式表示為HeavisideTheta，同時使用UnitStep來表示分段函式Piecewise[1, x >= 0] （應該注意的是，它採用了約定 而不是傳統定義 ）。

速記符號

(3)

有時也使用。

Heaviside階躍函式透過下式與 箱型函式 相關

(4)

並且可以根據 符號 函式定義為

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階躍函式的 導數 由下式給出

(6)

其中 是 delta 函式 (Bracewell 2000, p. 97)。

Heaviside階躍函式透過下式與 斜坡函式 相關

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以及與 的導數相關

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兩者也透過以下方式連線

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其中 表示 卷積。

Bracewell (2000) 給出了許多恆等式，其中一些包括以下內容。令 表示 卷積，

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此外，

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Heaviside階躍函式可以透過以下極限定義，

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其中 是 erfc 函式， 是 正弦積分， 是 sinc 函式，而 是單引數 三角形函式。上面說明了前四個函式，引數為 、0.1 和 0.01。

當然，任何具有常數不等水平漸近線的單調函式，在適當的縮放和可能的反射下，都是 Heaviside 階躍函式。Heaviside 階躍函式的 傅立葉變換 由下式給出

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其中 是 delta 函式。