廣義函式

廣義函式，也稱為“分佈”或“理想函式”，是所有規則序列的類，這些規則序列的特別良態函式等價於給定的規則序列。顧名思義，廣義函式是函式概念的推廣。例如，在物理學中，被球棒擊打的棒球會遇到來自球棒的力，作為時間的函式。由於來自球棒的動量傳遞被建模為瞬時發生，因此力實際上不是函式。相反，它是delta 函式的倍數。分佈集包含函式（區域性可積）和Radon 測度。請注意，術語“分佈”與統計分佈密切相關。

廣義函式被定義為在無限可微函式的空間上的連續線性泛函，使得所有連續函式都具有本身是廣義函式的導數。最常見的廣義函式是delta 函式。 Vladimirov (1971) 包含了從物理學家的角度對分佈的精彩處理，而 Gel'fand 和 Shilov (1964abcde) 的多卷著作是對該領域的經典而嚴謹的處理。 Schwarz 的一個結果表明，分佈不能在複數 上一致地定義。

雖然可以新增分佈，但當分佈具有重合的奇異支撐時，無法將分佈相乘。儘管如此，可以取分佈的導數，以獲得另一個分佈。因此，它們可能滿足線性偏微分方程，在這種情況下，分佈稱為弱解。例如，給定任何區域性可積函式 ，詢問 泊松方程的解 是有意義的

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僅要求方程在分佈意義上成立，即兩邊是相同的分佈。分佈的導數 的定義由下式給出

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分佈也與函式不同，因為它們是協變的，也就是說，它們向前推送。給定一個光滑函式 ， 在 上的分佈向前推送到 上的分佈。相反， 在 上的實函式拉回到 上的函式，即 。

根據定義，分佈是對具有特定拓撲的緊支撐的光滑函式的對偶。例如，delta 函式 是線性泛函 。對應於函式 的分佈是

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以及對應於測度 的分佈是

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分佈 沿著 的前推對映定義為

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並且 的導數定義為 ，其中 是 的形式伴隨。例如，delta 函式的一階導數由下式給出

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與任何函式空間的情況一樣，拓撲決定了哪些線性泛函是連續的，即在對偶向量空間中。拓撲由半範數族定義，

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其中 sup 表示上確界。它與緊子集上的 C-infty 拓撲一致。在這種拓撲中，序列收斂，，當且僅當存在一個緊集 ，使得所有 都支撐在 中，並且每個導數 在 中一致收斂到 。因此，常數函式 1 是一個分佈，因為如果 ，則

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