測度

術語“測度”、“可測”等具有非常精確的技術定義（通常涉及 σ-代數），這使得它們看起來難以理解。然而，定義的這種技術性極其重要，因為它為分析學（包括微積分的一些模糊基礎）中許多概念的基礎提供了堅實的基礎。

例如，積分的每個定義都基於特定的測度：黎曼積分基於若爾當測度，而勒貝格積分基於勒貝格測度。對測度的研究及其在積分中的應用被稱為測度論。

測度定義為從 δ-環 上的非負實函式，使得

(1)

其中 是空集，且

(2)

對於 中任何有限或可數個兩兩不相交的集合 的集合，使得 也屬於 。

如果 是 -有限的且 是有界的，則 可以唯一地擴充套件為定義在由 生成的 -代數上的測度。

如果 且 是 -代數，則稱 為集合 上的機率測度。

在機率測度的通常定義中（或者更精確地說，是非平凡的 -可加測度），測度是無限集 的冪集 上的實值函式 ，它滿足以下性質

1. 且 ，

2. 如果 則 ，

3. 對於所有 (非平凡性)，

4. 如果 是兩兩不相交的，則

(3)

(Jech 1997)。

測度 可以透過完備化來擴充套件。測度為零的集合的子集形成一個 -環 。透過在 中的集合上“改變” 中的集合，得到一個 -環 ，它是 關於 的完備化。

如果 ，則稱測度 是完備的。如果 不是完備的，則可以透過設定 將其擴充套件到 ，其中 且 。