偏微分方程

偏微分方程 (PDE) 是一個涉及函式及其偏導數的方程；例如，波動方程

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一些偏微分方程可以在 Wolfram 語言中使用以下命令精確求解DSolve[eqn, y, x1, x2]，以及使用以下命令進行數值求解NDSolve[eqns, y, x, xmin, xmax, t, tmin, tmax]。

一般來說，偏微分方程比常微分方程更難解析求解。有時可以使用 Bäcklund 變換、特徵線法、格林函式、積分變換、Lax 對、分離變數法，或者——當所有其他方法都失敗時（這種情況經常發生）——數值方法，例如有限差分法來求解。

幸運的是，二階偏微分方程通常可以使用解析解法。這類 PDE 的形式為

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然後根據矩陣的性質對線性二階 PDE 進行分類

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分為橢圓型、雙曲型或拋物型。

如果是一個正定矩陣，即，則稱該 PDE 為橢圓型。拉普拉斯方程和泊松方程是例子。邊界條件用於給出約束在上，其中

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在中成立。

如果 det，則稱該 PDE 為雙曲型。波動方程是雙曲型偏微分方程的一個例子。初邊值條件用於給出

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其中

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在中成立。

如果 det，則稱該 PDE 為拋物型。熱傳導方程和其他擴散方程是例子。初邊值條件用於給出

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其中

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在中成立。

以下是數學物理問題中常見的重要的偏微分方程示例。

Benjamin-Bona-Mahony 方程

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雙調和方程

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Boussinesq 方程

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Cauchy-Riemann 方程

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Korteweg-de Vries-Burgers 方程

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Korteweg-de Vries 方程

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Krichever-Novikov 方程

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其中

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另請參閱

Bäcklund 變換, 邊界條件, 特徵線法, 橢圓型偏微分方程, 格林函式, 雙曲型偏微分方程, 積分變換, Johnson 方程, Lax 對, Monge-Ampère 微分方程, 拋物型偏微分方程, 分離變數法在課堂中探索此主題

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參考文獻

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在中被引用

偏微分方程

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Weisstein, Eric W. "Partial Differential Equation." 來自 Web 資源. https://mathworld.tw/PartialDifferentialEquation.html

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