橢圓偏微分方程

二階偏微分方程，即，以下形式之一

(1)

被稱為橢圓方程，如果矩陣

(2)

是正定矩陣。橢圓偏微分方程幾乎在數學的所有領域都有應用，從調和分析到幾何學再到李理論，以及在物理學中的大量應用。與一般的 PDE 一樣，橢圓 PDE 可能具有非常係數和非線性。儘管存在這種多樣性，橢圓方程仍有完善的理論。

橢圓偏微分方程的基本例子是拉普拉斯方程

(3)

在 維歐幾里得空間中，其中拉普拉斯運算元 定義為

(4)

橢圓方程的其他例子包括非齊次泊松方程

(5)

以及非線性極小曲面方程。

對於橢圓偏微分方程，邊界條件用於給出 在 上的約束，其中

(6)

在 中成立。

常係數橢圓方程的一個性質是可以使用傅立葉變換研究它們的解。考慮具有周期性 的泊松方程。傅立葉級數展開式由下式給出

(7)

其中 被稱為“主符號”，因此我們可以求解 。除了 ，乘數是非零的。

一般來說，PDE 可能具有非常係數，甚至是是非線性的。如果線性 PDE 的主符號（如偽微分運算元理論中那樣）在遠離原點處非零，則它是橢圓的。例如，(◇) 的主符號為 ，對於 非零，並且是橢圓 PDE。

如果非線性 PDE 在解 處的線性化在 處是橢圓的，則該非線性 PDE 在解 處是橢圓的。如果非線性方程在任何解處都是橢圓的，則簡單地稱其為橢圓方程，例如黎曼流形之間的調和對映的情況。