調和對映

一個對映 ，在兩個緊 黎曼流形之間，如果它是能量泛函的臨界點，則稱為調和對映

微分 的範數由 和 上的度量給出，而 是 上的測度。通常，允許的對映類別位於對映的固定同倫類中。

能量泛函的尤拉-拉格朗日微分方程是一個非線性橢圓偏微分方程。例如，當 是圓時，尤拉-拉格朗日方程與測地線方程相同。因此， 是閉合測地線 當且僅當 是調和的。從圓到標準2-球面的赤道的對映是一個調和對映，將圓對映到赤道周圍 次的對映也是調和對映，對於任何整數 而言。請注意，這些都位於相同的同倫類中。更高維的例子是緊黎曼曲面上的亞純函式，它是到黎曼球面的調和對映。

調和對映可能並非總是在同倫類中存在，即使存在也可能不是唯一的。當 是負曲率的時，每個同倫類都存在一個調和代表元，並且也是唯一的。對於曲面，調和對映已被分類，並且精確地是全純對映和反全純對映。因此，根據曲面的霍奇定理，從球面到環面不存在非平凡的調和對映。

黎曼流形之間的調和對映可以看作是測地線在定義域維度為一時，或調和函式在值域為歐幾里得空間時的推廣。