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變分法

數學的一個分支，是 微積分 的一種推廣。變分法旨在找到路徑、曲線、曲面等，使得給定的 函式 具有 平穩值（在物理問題中，通常是 最小值 或 最大值）。在數學上，這涉及到尋找 平穩值，積分 形式如下

I=int_b^af(y,y^.,x)dx.
(1)

I 只有在 尤拉-拉格朗日微分方程 滿足時才具有極值，即如果

(partialf)/(partialy)-d/(dx)((partialf)/(partialy^.))=0.
(2)

變分法基本引理指出，如果

int_a^bM(x)h(x)dx=0
(3)

對於所有具有連續二階導數的 h(x)，則

M(x)=0
(4)

在 (a,b) 上。

變分法的一種推廣，稱為 莫爾斯理論 （有時也稱為“大範圍變分法”），使用非線性技術來解決變分問題。

參見

Beltrami 恆等式, Bolza 問題, 最速降線問題, 懸鏈線, 包絡定理, 尤拉-拉格朗日微分方程, 等周問題, 等體積問題, Lindelöf 定理, 莫爾斯理論, Plateau 問題, 直線選取, 輪盤曲線, 偏斜四邊形, 帶隧道的球體, 旋轉曲面, 波紋面, Weierstrass-Erdman 角點條件 在 課堂中探索此主題

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參考文獻

Arfken, G. "變分法章." Ch. 17 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, 頁 925-962, 1985.Bliss, G. A. Calculus of Variations. Chicago, IL: Open Court, 1925.Forsyth, A. R. Calculus of Variations. New York: Dover, 1960.Fox, C. An Introduction to the Calculus of Variations. New York: Dover, 1988.Isenberg, C. The Science of Soap Films and Soap Bubbles. New York: Dover, 1992.Jeffreys, H. and Jeffreys, B. S. "變分法章." Ch. 10 in Methods of Mathematical Physics, 3rd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 頁 314-332, 1988.Menger, K. "什麼是變分法及其應用？" Part V, Ch. 8 in The World of Mathematics, Vol. 2 (Ed. K. Newman). New York: Dover, 頁 886-890, 2000.Sagan, H. Introduction to the Calculus of Variations. New York: Dover, 1992.Smith, D. R. Variational Methods in Optimization. New York: Dover, 1998.Todhunter, I. History of the Calculus of Variations During the Nineteenth Century. New York: Chelsea, 1962.Weinstock, R. Calculus of Variations, with Applications to Physics and Engineering. New York: Dover, 1974.Weisstein, E. W. "關於變分法的書籍." http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/CalculusofVariations.html.

在 上被引用

變分法

引用為

Weisstein, Eric W. “變分法。” 來自 ——Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/CalculusofVariations.html

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