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最速降線問題

找到一條曲線的形狀，使得一個珠子從靜止開始沿該曲線滑動，並受重力加速，從一個點滑動到另一個點的時間最短（無摩擦）。該術語源自希臘語 betarhoalphachiiotasigmatauomicronsigma (brachistos) “最短的” 和 chirhoomicronnuomicronsigma (chronos) “時間，延遲。”

最速降線問題是變分法中最早提出的問題之一。牛頓在 1696 年被挑戰解決這個問題，並在第二天就解決了（Boyer 和 Merzbach 1991，第 405 頁）。事實上，解，即擺線的一段，是由萊布尼茨、洛必達、牛頓和兩位伯努利發現的。約翰·伯努利透過類比考慮光線在不同密度透明層中折射的路徑來解決這個問題（Mach 1893，Gardner 1984，Courant 和 Robbins 1996）。實際上，約翰·伯努利最初找到了一個不正確的證明，證明曲線是擺線，並挑戰他的兄弟雅各布找到所需的曲線。當雅各布正確地解決了問題後，約翰試圖用他的證明來代替（Boyer 和 Merzbach 1991，第 417 頁）。

在解中，珠子實際上可能會沿著擺線向上移動一段距離，但該路徑仍然比直線（或任何其他直線）更快。

從點 P_1 到另一點 P_2 的 travel time 由積分給出

t_(12)=int_(P_1)^(P_2)(ds)/v,
(1)

其中 s 是弧長，v 是速度。任何點的速度都可以透過簡單的能量守恆應用來獲得，即動能等於重力勢能，

1/2mv^2=mgy,
(2)

得到

v=sqrt(2gy).
(3)

將此代入 (◇) 以及恆等式

ds=sqrt(dx^2+dy^2)=sqrt(1+y^('2))dx
(4)

然後得到

t_(12)=int_(P_1)^(P_2)(sqrt(1+y^('2)))/(sqrt(2gy))dx
(5)
=int_(P_1)^(P_2)sqrt((1+y^('2))/(2gy))dx.
(6)

因此，要變分的函式是

f=(1+y^('2))^(1/2)(2gy)^(-1/2).
(7)

要繼續進行，通常需要應用完整的尤拉-拉格朗日微分方程

(partialf)/(partialy)-d/(dx)((partialf)/(partialy^'))=0.
(8)

然而，函式 f(y,y^') 特別好，因為 x 不顯式出現。因此，partialf/partialx=0，我們可以立即使用貝爾特拉米恆等式

f-y^'(partialf)/(partialy^')=C.
(9)

計算

(partialf)/(partialy^')=y^'(1+y^('2))^(-1/2)(2gy)^(-1/2),
(10)

從 f 中減去 y^'(partialf/partialy^')，然後簡化得到

1/(sqrt(2gy)sqrt(1+y^('2)))=C.
(11)

兩邊平方並稍微重新排列得到

[1+((dy)/(dx))^2]y=1/(2gC^2)
(12)
=k^2,
(13)

其中舊常數 C 的平方已用新的（正）常數 k^2 表示。該方程由引數方程求解

x=1/2k^2(theta-sintheta)
(14)
y=1/2k^2(1-costheta),
(15)

這些方程——瞧！——是擺線的方程。

如果包括動摩擦，該問題也可以解析求解，儘管解會複雜得多。在這種情況下，必須包括對應於重量的法向分量和加速度的法向分量（由於路徑曲率而存在）的項。包括這兩個項需要約束變分技術（Ashby 等人 1975），但僅包括重量的法向分量只能給出近似解。切向量和法向量是

T=(dx)/(ds)x^^+(dy)/(ds)y^^
(16)
N=-(dy)/(ds)x^^+(dx)/(ds)y^^,
(17)

重力和摩擦力是

F_(gravity)=mgy^^
(18)
F_(friction)=-mu(F_(gravity)N^.)T
(19)
=-mumg(dx)/(ds)T,
(20)

沿著曲線的分量是

F_(gravity)T^.=mg(dy)/(ds)
(21)
F_(friction)T^.=-mumg(dx)/(ds),
(22)

因此，牛頓第二定律給出

m(dv)/(dt)=mg(dy)/(ds)-mumg(dx)/(ds).
(23)

但是

(dv)/(dt)=v(dv)/(ds)
(24)
=1/2d/(ds)(v^2)
(25)
1/2v^2=g(y-mux)
(26)
v=sqrt(2g(y-mux)),
(27)

所以

t=intsqrt((1+(y^')^2)/(2g(y-mux)))dx.
(28)

使用尤拉-拉格朗日微分方程得到

[1+y^('2)](1+muy^')+2(y-mux)y^('')=0.
(29)

這可以簡化為

(1+(y^')^2)/((1+muy^')^2)=C/(y-mux).
(30)

現在令

y^'=cot(1/2theta),
(31)

解是

x=1/2k^2[(theta-sintheta)+mu(1-costheta)]
(32)
y=1/2k^2[(1-costheta)+mu(theta+sintheta)].
(33)

另請參閱

變分法, 擺線, 等時降線問題

使用 探索

參考文獻

Ashby, N.; Brittin, W. E.; Love, W. F.; and Wyss, W. "Brachistochrone with Coulomb Friction." Amer. J. Phys. 43, 902-905, 1975.Boyer, C. B. and Merzbach, U. C. A History of Mathematics, 2nd ed. New York: Wiley, 1991.Courant, R. and Robbins, H. What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed. Oxford, England: Oxford University Press, 1996.Gardner, M. The Sixth Book of Mathematical Games from Scientific American. Chicago, IL: University of Chicago Press, pp. 130-131, 1984.Haws, L. and Kiser, T. "Exploring the Brachistochrone Problem." Amer. Math. Monthly 102, 328-336, 1995.Hayen, J. C. "Brachistochrone with Coulomb Friction." Int. J. Non-Linear Mech. 40, 1057-1075, 2005.Lipp, S. C. "Brachistochrone with Coulomb Friction." SIAM J. Control Optim. 35, 562-584, 1997.Mach, E. The Science of Mechanics. Chicago, IL: Open Court, 1893.Phillips, J. P. "Brachistochrone, Tautochrone, Cycloid--Apple of Discord." Math. Teacher 60, 506-508, 1967.Smith, D. E. History of Mathematics, Vol. 2: Special Topics of Elementary Mathematics. New York: Dover, p. 326, 1958.Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, pp. 148-149, 1999.Wagon, S. Mathematica in Action. New York: W. H. Freeman, pp. 60-66 and 385-389, 1991.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, p. 46, 1991.

在 中被引用

最速降線問題

請這樣引用

Weisstein, Eric W. "最速降線問題。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/BrachistochroneProblem.html

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