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等時降落問題

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Tautochrone

等時降落問題是指找到這樣一條曲線，使得一個珠子從曲線上任何位置滑落到最低點的時間都相同。解是擺線，這個事實最早由惠更斯在擺鐘 (1673) 中發現並發表。梅爾維爾在白鯨記的以下段落中也暗示了這一性質：“[煉油鍋]也是一個進行深刻數學思考的地方。在皮科德號左舷的煉油鍋裡，我勤奮地用皂石繞著我轉圈，我第一次間接地被一個非凡的事實所震撼，那就是在幾何學中，所有沿著擺線滑動的物體，例如我的皂石，從任何一點下降的時間都完全相同”（梅爾維爾 1851 年）。

惠更斯還製造了第一個擺鐘，該鐘帶有一個裝置，透過迫使擺錘在擺線弧線中擺動來確保擺錘是等時的。這是透過在擺錘懸掛點的每一側放置兩個反向擺線弧的漸屈線來實現的，擺錘被約束在漸屈線上移動（Wells 1991, p. 47; Gray 1997, p. 123）。不幸的是，沿弧線的摩擦造成的誤差比擺線路徑校正的誤差更大（Gardner 1984）。

擺線的引數方程是

x=a(theta-sintheta)
(1)
y=a(1-costheta).
(2)

為了理解擺線滿足等時性，考慮其導數

x^'=a(1-costheta)
(3)
y^'=asintheta,
(4)

以及

x^('2)+y^('2)=a^2[(1-2costheta+cos^2theta)+sin^2theta]
(5)
=2a^2(1-costheta).
(6)

現在

1/2mv^2=mgy
(7)
v=(ds)/(dt)=sqrt(2gy)
(8)
dt=(ds)/(sqrt(2gy))
(9)
=(sqrt(dx^2+dy^2))/(sqrt(2gy))
(10)
=(asqrt(2(1-costheta))dtheta)/(sqrt(2ga(1-costheta)))
(11)
=sqrt(a/g)dtheta,
(12)

因此，從擺線頂部到底部所需的時間是

T=int_0^pidt=sqrt(a/g)pi.
(13)

然而，從中間點 theta_0，

v=(ds)/(dt)=sqrt(2g(y-y_0)),
(14)

所以

T=int_(theta_0)^pisqrt((2a^2(1-costheta))/(2ag(costheta_0-costheta)))dtheta
(15)
=sqrt(a/g)int_(theta_0)^pisqrt((1-costheta)/(costheta_0-costheta))dtheta.
(16)

為了積分，使用半形公式重新整理這個方程

sin(1/2x)=sqrt((1-cosx)/2)
(17)
cos(1/2x)=sqrt((1+cosx)/2),
(18)

後者可以改寫為

costheta=2cos^2(1/2theta)-1
(19)

得到

T=sqrt(a/g)int_(theta_0)^pi(sin(1/2theta)dtheta)/(sqrt(cos^2(1/2theta_0)-cos^2(1/2theta))).
(20)

現在變換變數為

u=(cos(1/2theta))/(cos(1/2theta_0))
(21)
du=-(sin(1/2theta)dtheta)/(2cos(1/2theta_0)),
(22)

所以

T=-2sqrt(a/g)int_1^0(du)/(sqrt(1-u^2))
(23)
=2sqrt(a/g)[sin^(-1)u]_0^1
(24)
=pisqrt(a/g),
(25)

從任何點出發，所需時間都相同。

另請參閱

最速降線問題, 擺線

使用 探索

參考文獻

Gardner, M. 科學美國人數學遊戲第六輯。 Chicago, IL: University of Chicago Press, pp. 129-130, 1984.Gray, A. 使用 Mathematica 的曲線和曲面的現代微分幾何，第二版。 Boca Raton, FL: CRC Press, 1997.Lagrange, J. L. "Sue les courbes tautochrones." Mém. de l'Acad. Roy. des Sci. et Belles-Lettres de Berlin 21, 1765. Reprinted in Oeuvres de Lagrange, tome 2, section deuxième: Mémoires extraits des recueils de l'Academie royale des sciences et Belles-Lettres de Berlin. Paris: Gauthier-Villars, pp. 317-332, 1868.Melville, H. "The Tryworks." Ch. 96 in 白鯨記。 New York: Bantam, 1981. Originally published in 1851.更新連結Muterspaugh, J.; Driver, T.; and Dick, J. E. "擺線與等時性。" http://php.indiana.edu/~jedick/project/intro.html更新連結Muterspaugh, J.; Driver, T.; and Dick, J. E. "P221 等時降落問題。" http://php.indiana.edu/~jedick/project/project.htmlPhillips, J. P. "最速降線、等時降線、擺線——紛爭之源。" Math. Teacher 60, 506-508, 1967.Wagon, S. Mathematica 實踐。 New York: W. H. Freeman, pp. 54-60 and 384-385, 1991.Wells, D. 企鵝好奇和有趣的幾何學詞典。 London: Penguin, pp. 46-47, 1991.

在 中被引用

等時降落問題

請引用本文為

Weisstein, Eric W. "等時降落問題。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/TautochroneProblem.html

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