擺線是半徑為 a 的圓在一個直線上滾動時，圓周上一點的軌跡。伽利略於 1599 年研究並命名了它。伽利略試圖透過稱量切割成擺線形狀的金屬片來找到面積。托里切利、費馬和笛卡爾都找到了面積。羅伯瓦爾在 1634 年、雷恩在 1658 年、惠更斯在 1673 年和約翰·伯努利在 1696 年也研究了擺線。羅伯瓦爾和雷恩找到了弧長（MacTutor 檔案館）。齒輪齒也由擺線製成，這是德扎格在 17 世紀 30 年代首次提出的（Cundy and Rollett 1989）。
1696 年，約翰·伯努利挑戰其他數學家找到解決最速降線問題的曲線，他知道答案是擺線。萊布尼茨、牛頓、雅各布·伯努利和洛必達都解決了伯努利的挑戰。擺線也解決了等時降線問題，正如《白鯨記》中的以下段落所暗示的那樣：“[煉油鍋] 也是一個進行深刻數學冥想的地方。在皮쿼德號左舷的煉油鍋裡，皂石勤奮地在我周圍旋轉，我第一次間接地被一個非凡的事實所震撼，即在幾何學中，所有沿著擺線滑動的物體，例如我的皂石，都將在完全相同的時間內從任何點下降”（梅爾維爾 1851 年）。由於擺線在 17 世紀頻繁引發數學家之間的爭吵，擺線被稱為“幾何學家的海倫”（Boyer 1968，第 389 頁）。
當光線平行於 y 軸時，擺線反射線是具有兩倍拱形的擺線。擺線的徑曲線是一個圓。擺線的漸屈線和漸伸線是相同的擺線。
如果擺線在原點有一個尖點，並且它的峰向上，則其引數方程為
峰在對應於 
的連續倍數的 
值處完成，高度為 
，長度為 
。消除上述方程中的 
得到笛卡爾方程
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(3)
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這對於 ![y in [0,2a]](/images/equations/Cycloid/Inline13.svg)
中的 y 有效，並給出擺線的第一個峰的前半部分。隱式笛卡爾方程由下式給出
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(4)
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擺線第一個峰的弧長、曲率和切線角為
對於第一個峰，
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(8)
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對於擺線的單個峰，曲線下的弧長和面積因此為
另請參閱
最速降線問題,
短幅擺線,
環面,
擺線反射線,
擺線漸屈線,
擺線漸伸線,
外擺線,
內擺線,
長幅擺線,
等時降線問題,
旋輪線
使用 探索
參考文獻
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請引用為
韋斯坦因，埃裡克·W. "擺線." 來自 網路資源。 https://mathworld.tw/Cycloid.html
主題分類
![4a{(-1)^(|_t/(2pi)+1/2_|)[1-|cos(1/2t)|]|sin(1/2t)|csc(1/2t)+2|_t/(2pi)+1/2_|}](/images/equations/Cycloid/Inline16.svg)
