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貝爾特拉米恆等式

貝爾特拉米在 1868 年發現的變分法中的一個恆等式。尤拉-拉格朗日微分方程是

(partialf)/(partialy)-d/(dx)((partialf)/(partialy_x))=0.
(1)

現在，考察 f 關於 x 的導數

(df)/(dx)=(partialf)/(partialy)y_x+(partialf)/(partialy_x)y_(xx)+(partialf)/(partialx).
(2)

求解 partialf/partialy 項得到

(partialf)/(partialy)y_x=(df)/(dx)-(partialf)/(partialy_x)y_(xx)-(partialf)/(partialx).
(3)

現在，將 (1) 乘以 y_x 得到

y_x(partialf)/(partialy)-y_xd/(dx)((partialf)/(partialy_x))=0.
(4)

然後將 (3) 代入 (4) 得到

(df)/(dx)-(partialf)/(partialy_x)y_(xx)-(partialf)/(partialx)-y_xd/(dx)((partialf)/(partialy_x))=0
(5)
-(partialf)/(partialx)+d/(dx)(f-y_x(partialf)/(partialy_x))=0.
(6)

如果 f_x=0，這種形式尤其有用，因為在這種情況下

d/(dx)(f-y_x(partialf)/(partialy_x))=0,
(7)

這立即得到

f-y_x(partialf)/(partialy_x)=C,
(8)

其中 C 是積分常數 (Weinstock 1974, pp. 24-25; Arfken 1985, pp. 928-929; Fox 1988, pp. 8-9)。

貝爾特拉米恆等式極大地簡化了關於給定軸在兩個指定點之間最小面積 旋轉曲面的解。它也使得最速降線問題的直接求解成為可能。

另請參閱

最速降線問題, 變分法, 尤拉-拉格朗日微分方程, 旋轉曲面

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參考文獻

Arfken, G. 物理學家的數學方法，第 3 版。 Orlando, FL: Academic Press, 1985.Fox, C. 變分法導論。 New York: Dover, 1988.Weinstock, R. 變分法及其在物理學和工程學中的應用。 New York: Dover, 1974.

在 中被引用

貝爾特拉米恆等式

請引用為

Weisstein, Eric W. "貝爾特拉米恆等式。" 來自 網路資源。 https://mathworld.tw/BeltramiIdentity.html

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