旋轉曲面

旋轉曲面是透過將二維曲線繞軸旋轉而生成的曲面。因此，所得曲面始終具有軸對稱性。旋轉曲面的例子包括蘋果曲面、圓錐（不包括底面）、圓錐臺（不包括端面）、圓柱體（不包括端面）、達爾文-德西特橢球體、加百利號角、雙曲面、檸檬曲面、扁球面、拋物面、長球面、偽球面、球面、橢球體和環面（及其推廣，環體）。

透過將曲線 從 到 繞 x 軸 旋轉獲得的旋轉曲面的面積元素是

			(1)
			(2)

因此，表面積是

			(3)
			(4)

(Apostol 1969, p. 286; Kaplan 1992, p. 251; Anton 1999, p. 380)。如果曲線改為由 引數化指定，則當 且 在此區間內時，透過將曲線繞 x 軸 旋轉獲得的表面積由下式給出

(5)

類似地，透過將曲線 從 到 繞 y 軸 旋轉獲得的旋轉曲面的面積由下式給出

			(6)
			(7)

(Anton 1999, p. 380)。如果曲線改為由 引數化指定，則當 且 在此區間內時，透過將曲線繞 y 軸 旋轉獲得的表面積由下式給出

(8)

下表給出了一些常見旋轉曲面的側面表面積 ，其中 表示半徑（圓錐、圓柱、球體或球帶的半徑）， 和 分別表示圓臺的內半徑和外半徑， 表示高度， 表示橢球體的扁率，以及 和 分別表示赤道半徑和極半徑（對於橢球體）或圓形橫截面的半徑和旋轉半徑（對於環面）。

曲面
圓錐
圓錐臺
圓柱體
扁球面
長球面
球面
環面
球帶

旋轉曲面的標準引數化由下式給出

			(9)
			(10)
			(11)

對於如此引數化的曲線，第一基本形式為

			(12)
			(13)
			(14)

只要 和 非零，則曲面是正則的，第二基本形式為

			(15)
			(16)
			(17)

此外，單位法向量為

(18)

主曲率為

			(19)
			(20)

高斯曲率和平均曲率為

			(21)
			(22)

(Gray 1997)。

帕普斯重心定理給出旋轉體的體積，即橫截面積乘以重心旋轉時所經過的距離。