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八曲面

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EightSurface

由引數方程給出的旋轉曲面

x(u,v)=cosusin(2v)
(1)
y(u,v)=sinusin(2v)
(2)
z(u,v)=sinv
(3)

對於 u in [0,2pi) 和 v in [-pi/2,pi/2]。

它是由以下方程定義的四次曲面

4z^4+a^2(x^2+y^2-4z^2)=0.
(4)

透過在上述方程中進行變換 z->z/2，可以得到一個基本等價的曲面，Hauser 稱之為 octdong 曲面，即

z^4+4a^2(x^2+y^2-z^2)=0.
(5)

設定 x=0，z=x/2 和 a^'=a/2 (即，縮放一半並將 z 軸重新標記為 x 軸) 得到 八字曲線，因此八曲面“幾乎”是旋轉曲面。

第一基本形式的係數是

E=a^2sin^2(2v)
(6)
F=0
(7)
G=1/2a^2[5+cos(2v)+4cos(4v)]
(8)

而第二基本形式的係數是

e=-(4sqrt(2)cos^3vsin^2v)/(|sin(2v)|sqrt(5+cos(2v)+4cos(4v)))
(9)
f=0
(10)
g=-(2sqrt(2)[5cosv+cos(3v)]sin^2v)/(|sin(2v)|sqrt(5+cos(2v)+4cos(4v))).
(11)

高斯曲率和平均曲率由下式給出

K=(4[2+cos(2v)])/([5+cos(2v)+4cos(4v)]^2)
(12)
H=(cos(v)[-11+3cos(2v)-2cos(4v)])/(sqrt(2)|sin(2v)|[5+cos(2v)+4cos(4v)]^(3/2)).
(13)

高斯曲率可以隱式地表示為

K(x,y,z)=(3a^6-2a^4z^2)/((5a^4-17a^2z^2+16z^4)^2).
(14)

八曲面的表面積和體積由下式給出

S=(pia^2[240+136sqrt(5)+31ln(17+8sqrt(5))])/(128)
(15)
V=(16)/(15)pia^3.
(16)

其質心位於 (0,0,0)，其慣性張量為

I=[(13)/(21)Ma^2 0 0; 0 (13)/(21)Ma^2 0; 0 0 8/(21)Ma^2]
(17)

對於具有均勻密度和質量為 M 的實體。

另請參閱

八字曲線

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參考文獻

Gray, A. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 310, 1997.Hauser, H. "Gallery of Singular Algebraic Surfaces: Octdong." https://homepage.univie.ac.at/herwig.hauser/gallery.html.

請引用為

Weisstein, Eric W. “八曲面。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/EightSurface.html

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