八字曲線

一種曲線，也稱為熱羅諾雙紐線。它由笛卡爾座標給出

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極座標,

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和引數方程

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它在 處有垂直切線，在 處有水平切線。

在八字曲面的方程中設定 , , 和 （即，縮小一半並將 -軸重新標記為 -軸）得到八字曲線。

曲線的面積是

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曲率和切線角是

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整個曲線的弧長由下式給出

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(OEIS A118178), 其中 是第一類完全橢圓積分， 是第二類完全橢圓積分， 並且 是第三類完全橢圓積分，所有這些都以橢圓模量 為引數 (D. W. Cantrell, 私人通訊, 4月 22, 2006)。 弧長也透過以下方式與一維隨機遊走有著驚人的聯絡

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其中

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並且 是一個正則化超幾何函式，其中前幾項對於 , 1, ... 是 1, 0, 4, 6, 36, 100, ... (OEIS A092765; M. Alekseyev, 私人通訊, 4月 19, 2006)。