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雙紐線

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Lemniscate

雙紐線，也稱為伯努利雙紐線，是一種 極座標曲線，定義為點的 軌跡，使得從兩個固定點 (-a,0) 和 (a,0) （可以被認為是關於乘法的 焦點 而不是加法）的距離的乘積是一個常數 a^2。這給出了 笛卡爾方程

sqrt((x-a)^2+y^2)sqrt((x+a)^2+y^2)=a^2.
(1)

兩邊平方得到

[(x-a)^2+y^2][(x+a)^2+y^2]=a^4,
(2)

化簡後得到優美的形式

(x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2).
(3)

雙紐線的半寬（從原點的交叉點到水平端點的距離）是

x_(max)=a,
(4)

而其半高是

y_(max)=a/(2sqrt(2)).
(5)

切換到 極座標 得到方程

r^2=a^2cos(2theta),
(6)

或

r=asqrt(cos(2theta)).
(7)

請注意，此方程僅為角度 -pi/4<theta<pi/4 和 3pi/4<theta<5pi/4 定義。

半寬為 a 的雙紐線的 引數方程 為

x=(acost)/(1+sin^2t)
(8)
y=(asintcost)/(1+sin^2t).
(9)

以 焦點 為原點的雙中心 雙極座標 方程為

rr^'=1/2a^2,
(10)

在 垂足座標 中，以中心為 垂足點，方程為

pa^2=r^3.
(11)

雅各布·伯努利在 1694 年在Acta Eruditorum 上發表了一篇文章，其中他稱這條曲線為 lemniscus（拉丁語，意為“吊墜絲帶”）。伯努利沒有意識到他所描述的曲線是卡西尼在 1680 年描述的 卡西尼卵形線 的一個特例。雙紐線的一般性質是由 G. 法尼亞諾在 1750 年發現的（MacTutor Archive）。高斯和尤拉對曲線 弧長 的研究導致了後來對 橢圓函式 的研究。

雙紐線是 雙曲線 關於其中心的 反曲線。

LemniscateEnvelope

雙紐線也可以生成為中心在 直角雙曲線 上並透過 雙曲線 中心的圓的 包絡線 (Wells 1991)。

LemniscateToricSection

當切割平面沿其中心孔的圓周與環面相切時，雙紐線類似於某些 環面截線。例如，相交一個環面

(c^'-sqrt(x^2+y^2))^2+z^2=a^('2)
(12)

其從孔中心到環面中心的半徑 c^'=1 和管半徑 a^'=4/10 與平面 y=6/10 的交點由下式描述

8/5x^2-x^4-(12)/5z^2-2x^2z^2-z^4,
(13)

如上所示。雖然交點曲線接近 xz 平面中引數為 a=2sqrt(2/5) 的雙紐線方程

8/5x^2-x^4-8/5z^2-2x^2z^2-z^4,
(14)

但由於 z^2 項的差異，它並不等價，如下圖所示

LemniscateToricSectionComparison

然而，在 c^'=2a' 的環面的特殊情況下，環面截線正好變成半寬為的雙紐線

a=2sqrt(a^'c^').
(15)

雙紐線的 面積 是

A=2(1/2intr^2dtheta)
(16)
=a^2int_(-pi/4)^(pi/4)cos(2theta)dtheta
(17)
=a^2.
(18)

作為 t 函式的 弧長 由下式給出

s(t)=sqrt(2)aint_0^t[3-cos(2t)]^(-1/2)dt
(19)
=aF(t,i),
(20)

其中 F(z,k) 是 第一類橢圓積分。整條曲線的弧長為

s=4int_0^a(dr)/(sqrt(1-(r/a)^4))
(21)
=4aint_0^1(1-t^4)^(-1/2)dt
(22)
=2La
(23)
=5.2441151086...a
(24)

(OEIS A064853)，其中 L 是 雙紐線常數，它在雙紐線中的作用類似於 圓 中的 pi。

雙紐線的 曲率 和 切線角 為

kappa(t)=(3sqrt(2)cost)/(asqrt(3-cos(2t)))
(25)
phi(t)=3tan^(-1)(sint).
(26)

另請參閱

卡西尼卵形線, 魔鬼曲線, 啞鈴曲線, 八字曲線, 數字八, 雙紐線常數, 雙紐線函式, 利希滕費爾斯最小曲面, 曼德勃羅集雙紐線, 環面截線, 維維亞尼曲線

使用 探索

參考文獻

Ayoub, R. "The Lemniscate and Fagnano's Contributions to Elliptic Integrals." Arch. Hist. Exact Sci. 29, 131-149, 1984.Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 220, 1987.Borwein, J. M. and Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, 1987.Gray, A. "Lemniscates of Bernoulli." §3.2 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 52-53, 1997.Kabai, S. Mathematical Graphics I: Lessons in Computer Graphics Using Mathematica. Püspökladány, Hungary: Uniconstant, p. 143, 2002.Lawrence, J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover, pp. 120-124, 1972.Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, p. 37, 1983.Lockwood, E. H. A Book of Curves. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1967.MacTutor History of Mathematics Archive. "Lemniscate of Bernoulli." http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Lemniscate.html.Sloane, N. J. A. Sequence A064853 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Smith, D. E. History of Mathematics, Vol. 2: Special Topics of Elementary Mathematics. New York: Dover, p. 329, 1958.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, pp. 139-140, 1991.Yates, R. C. "Lemniscate." A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards, pp. 143-147, 1952.

請引用為

Weisstein, Eric W. "雙紐線。" 來自 --一個 資源。 https://mathworld.tw/Lemniscate.html

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