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雙紐線函式

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雙紐線函數出現在 雙紐線 的 弧長 的求積中。雙紐線函式最早由雅各布·伯努利和朱利奧·法尼亞諾研究。Ayoub (1984) 給出了歷史記載，Siegel (1969) 進行了廣泛的討論。雙紐線函式是由積分反演定義的第一個函式

L=2aint_0^1(1-t^4)^(-1/2)dt,
(1)

這首先由高斯完成，他注意到

1/(agm(1,sqrt(2)))=2/piint_0^1(dt)/(sqrt(1-t^4)),
(2)

其中 agm(a,b) 是 算術-幾何平均數（Borwein 和 Bailey 2003，第 13 頁）。

將反雙紐線函式定義為

phi(x)=sinlemn^(-1)x
(3)
=int_0^x(1-t^4)^(-1/2)dt
(4)
=x_2F_1(1/4,1/2;5/4;x^4)
(5)
phi^'(x)=coslemn^(-1)x
(6)
=int_x^1(1-t^4)^(-1/2)dt
(7)
=K(i)-F(sin^(-1)x,i)
(8)
=(Gamma^2(1/4))/(4sqrt(2pi))-x_2F_1(1/4,1/2;5/4;x^4),
(9)

其中 _2F_1(a,b;c;z) 是一個 超幾何函式，F(z,k) 是第一類不完全 橢圓積分，K(k) 是第二類 橢圓積分，並且

pi=L/a,
(10)

因此

x=sinlemnphi
(11)
x=coslemnphi^'.
(12)

現在，存在一個連線 phi 和 phi^' 的恆等式，因為

phi(x)+phi^'(x)=L/(2a)=1/2pi,
(13)

所以

sinlemnphi=coslemn(1/2pi-phi).
(14)

這些函式可以用 雅可比橢圓函式 表示，

u=int_0^(sd(u,k))[(1-k^('2)y^2)(1+k^2y^2)]^(-1/2)dy.
(15)

現在，如果 k=k^'=1/sqrt(2)，則

u=int_0^(sd(u,1/sqrt(2)))[(1-1/2y^2)(1+1/2y^2)]^(-1/2)dy
(16)
=int_0^(sd(u,1/sqrt(2)))(1-1/4y^4)^(-1/2)dy.
(17)

令 t=y/sqrt(2)，所以 dy=sqrt(2)dt，

u=sqrt(2)int_0^(sd(u,1/sqrt(2))/sqrt(2))(1-t^4)^(-1/2)dt
(18)
u/(sqrt(2))=int_0^(sd(u,1/sqrt(2))/sqrt(2))(1-t^4)^(-1/2)dt
(19)
u=int_0^(sd(usqrt(2),1/sqrt(2))/sqrt(2))(1-t^4)^(-1/2)dt,
(20)

並且

sinlemnphi=1/(sqrt(2))sd(phisqrt(2),1/(sqrt(2))).
(21)

類似地，

u=int_(cn(u,k))^1(1-t^2)^(-1/2)(k^('2)+k^2t^2)^(-1/2)dt
(22)
=int_(cn(u,1/sqrt(2)))^1(1-t^2)^(-1/2)(1/2+1/2t^2)^(-1/2)dt
(23)
=sqrt(2)int_(cn(u,1/sqrt(2)))^1(1-t^4)^(-1/2)dt
(24)
u/(sqrt(2))=int_(cn(u,1/sqrt(2)))^1(1-t^4)^(-1/2)dt
(25)
u=int_(cn(usqrt(2),1/sqrt(2)))^1(1-t^4)^(-1/2)dt,
(26)

並且

coslemnphi=cn(phisqrt(2),1/(sqrt(2))).
(27)

我們知道

coslemn(1/2pi)=cn(1/2pisqrt(2),1/(sqrt(2)))=0.
(28)

但事實是

cn(K,k)=0,
(29)

所以

K(1/(sqrt(2)))=1/2sqrt(2)pi=1/(sqrt(2))pi
(30)
(Gamma^2(1/4))/(4sqrt(pi))=1/(sqrt(2))pi
(31)
L=api=(Gamma^2(1/4))/(2^(3/2)sqrt(pi))a.
(32)

透過將 (1-t^4)^(-1/2) 展開成 二項式級數 並逐項積分，arcsinlemn 函式可以寫成

phi(x)=int_0^x(dt)/(sqrt(1-t^4))
(33)
=sum_(n=0)^(infty)((1/2)_nx^(4n+1))/(n!(4n+1))
(34)
=x_2F_1(1/4,1/2;5/4;x^4),
(35)

其中 (a)_n 是 波赫哈默符號 (Berndt 1994)。

拉馬努金給出了 phi(x) 的以下反演 公式。如果

(thetamu)/(sqrt(2))=sum_(n=0)^infty((1/2)_nx^(4n+1))/(n!(4n+1)),
(36)

其中

mu=(Gamma^2(1/4))/(2pi^(3/2))
(37)

是透過令 x=1 和 theta=pi/2 獲得的常數，並且

v=2^(-1/2)sd(mutheta),
(38)

那麼

(mu^2)/(2x^2)=csc^2theta-1/pi-8sum_(n=1)^infty(ncos(2ntheta))/(e^(2pin)-1)
(39)

(Berndt 1994)。

拉馬努金還表明，如果 0<theta<pi/2，則

-mu/(sqrt(2))sum_(n=0)^infty((1/2)_nv^(4n-1))/(n!(4n-1))=cottheta+theta/pi+4sum_(n=1)^infty(sin(2ntheta))/(2^(2pin)-1),
(40)
lnv+1/6pi-1/2ln2+sum_(n=1)^infty((1/4)_nv^(4n))/((3/4)_n4n)=ln(sintheta)+(theta^2)/(2pi)-2sum_(n=1)^infty(cos(2ntheta))/(n(e^(2pin)-1)),
(41)
1/2tan^(-1)v=sum_(n=0)^infty(sin[(2n+1)theta])/((2n+1)cosh[1/2(2n+1)pi])
(42)
1/4cos^(-1)(v^2)=sum_(n=0)^infty((-1)^ncos[(2n+1)theta])/((2n+1)cosh[1/2(2n+1)pi]),
(43)

並且

(sqrt(2))/(4mu)sum_(n=0)^infty(2^(2n)(n!)^2)/((2n+1)!(4n+3))v^(4n+3)=(pitheta)/8-sum_(n=0)^infty((-1)^nsin[(2n+1)theta])/((2n+1)^2cosh[1/2(2n+1)pi])
(44)

(Berndt 1994)。

雙紐線函式的廣義版本可以透過令 0<=theta<=pi/2 和 0<=v<=1 來定義。寫成

2/3thetamu=int_0^v(dt)/(sqrt(1-t^6)),
(45)

其中 mu 是透過設定 theta=pi/2 和 v=1 獲得的常數。那麼

mu=(sqrt(pi))/(Gamma(2/3)Gamma(5/6)),
(46)

拉馬努金表明

(4mu^2)/(9v^2)=csc^2theta-2/(pisqrt(3))+8sum_(n=1)^infty((-1)^(n-1)ncos(2ntheta))/(e^(pinsqrt(3))-(-1)^n)
(47)

(Berndt 1994)。

另請參閱

算術-幾何平均數，橢圓函式，橢圓積分，高斯常數，雙曲雙紐線函式

使用 探索

參考文獻

Ayoub, R. "The Lemniscate and Fagnano's Contributions to Elliptic Integrals." Arch. Hist. Exact Sci. 29, 131-149, 1984.Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks, Part IV. New York: Springer-Verlag, pp. 245, and 247-255, 258-260, 1994.Borwein, J. and Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, 2003.Siegel, C. L. Topics in Complex Function Theory, Vol. 1. New York: Wiley, 1969.

在 中被引用

雙紐線函式

請引用為

Weisstein, Eric W. "雙紐線函式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/LemniscateFunction.html

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