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雙曲蘭形線函式

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與 蘭形線函式 類似，雙曲蘭形線函式也可以定義為

arcsinhlemnx=int_0^x(1+t^4)^(1/2)dt
(1)
=x_2F_1(-1/2,1/4;5/4;-x^4)
(2)
arccoshlemnx=int_x^1(1+t^4)^(1/2)dt
(3)
=_2F_1(-1/2,1/4;5/4;-1)-x_2F_1(-1/2,1/4;5/4;-x^4).
(4)

其中 _2F_1(a,b;c;z) 是一個 超幾何函式。

設 0<=theta<=pi/2 且 0<=v<=1，並寫為

(thetamu)/2=int_0^v(dt)/(sqrt(1+t^4))
(5)
=v_2F_1(1/4,1/2;5/4;-v^4),
(6)

其中 mu 是透過設定 theta=pi/2 和 v=1 獲得的常數，其由下式給出

mu=2/piK(1/(sqrt(2)))
(7)
=(sqrt(pi))/(Gamma^2(3/4)),
(8)

其中 K(k) 是 第一類完全橢圓積分。拉馬努金證明了

2tan^(-1)v=theta+sum_(n=1)^infty(sin(2ntheta))/(ncosh(npi)),
(9)
1/8pi-1/2tan^(-1)(v^2)=sum_(n=0)^infty((-1)^ncos[(2n+1)theta])/((2n+1)cosh[1/2(2n+1)pi])
(10)

和

ln((1+v)/(1-v))=ln[tan(1/4pi+1/2theta)]+4sum_(n=0)^infty((-1)^nsin[(2n+1)theta])/((2n+1)[e^((2n+1)pi)-1])
(11)

(Berndt 1994)。

另請參閱

蘭形線函式

使用 探索

參考文獻

Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks, Part IV. New York: Springer-Verlag, pp. 255-258, 1994.

在 中被引用

雙曲蘭形線函式

引用為

Weisstein, Eric W. "Hyperbolic Lemniscate Function." 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/HyperbolicLemniscateFunction.html

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