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高斯常數

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1 和 sqrt(2) 的算術-幾何平均數的倒數，

G=2/piint_0^11/(sqrt(1-x^4))dx
(1)
=2/piint_0^(pi/2)(dtheta)/(sqrt(1+sin^2theta))
(2)
=L/pi
(3)
=1/(M(1,sqrt(2)))
(4)
=(2K(-1))/pi
(5)
=(sqrt(2))/piK(1/(sqrt(2)))
(6)
=theta_4^2(e^(-pi))
(7)
=(2pi)^(-3/2)[Gamma(1/4)]^2
(8)
=3/(2R_D(0,2,1))
(9)
=(2R_F(0,1,2))/pi
(10)
=R_K(1,2)
(11)
=0.83462684167...
(12)

(OEIS A014549)，其中 L 是lemniscate 常數，K(k) 是第一類完全橢圓積分，theta_4(q) 是 Jacobi theta 函式，Gamma(z) 是 gamma 函式，並且 R_D、R_F、R_K 是 Carlson 橢圓積分。高斯首先注意到這種對應關係，並且這是他探索 lemniscate 函式 的基礎（Borwein 和 Bailey 2003，第 13-15 頁）。

給出兩個快速收斂的 G 的級數：

G=[sum_(n=-infty)^(infty)(-1)^ne^(-pin^2)]^2
(13)
=2^(5/4)e^(-pi/3)[sum_(n=-infty)^(infty)(-1)^ne^(-2pi(3n+1)n)]^2
(14)

(Finch 2003，第 421 頁)。

高斯常數的連分數為 [0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 15, ...] (OEIS A053002)。

高斯常數的倒數由下式給出

M=1/G=1.1981402347355922074399...
(15)

(OEIS A053004；Finch 2003，第 420 頁；Borwein 和 Bailey 2003，第 13 頁)，其連分數為 [1, 5, 21, 3, 4, 14, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 15, 1, ...] (OEIS A053003)。

值

M/(sqrt(2))=0.847213...
(16)

(OEIS A097057) 有時被稱為普遍常數 (Spanier 和 Oldham 1987；Schroeder 1994；Finch 2003，第 421 頁)，並且

M/2=0.599070...
(17)

(OEIS A076390) 有時被稱為第二lemniscate 常數 (Finch 2003，第 421 頁)。

高斯常數 G 和 M 與 lemniscate 常數 L 的關係為：

L=piG
(18)
=pi/M
(19)

(Finch 2003，第 420 頁)。

參見

算術-幾何平均數, Gauss-Kuzmin-Wirsing 常數, Lemniscate 常數, Lemniscate 函式, 畢達哥拉斯常數

在 中探索

參考文獻

Borwein, J. M. 和 Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, p. 5, 1987.Borwein, J. 和 Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, 2003.Goldman, J. R. The Queen of Mathematics: An Historically Motivated Guide to Number Theory. Wellesley, MA: A K Peters, p. 92, 1997.Finch, S. R. Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, 2003.Gosper, R. W. "A Calculus of Series Rearrangements." In Algorithms and Complexity: New Directions and Recent Results. Proc. 1976 Carnegie-Mellon Conference (Ed. J. F. Traub). New York: Academic Press, pp. 121-151, 1976.Lewanowicz, S. 和 Paszowski, S. "An Analytic Method for Convergence Acceleration of Certain Hypergeometric Series." Math. Comput. 64, 691-713, 1995.Schroeder, M. "How Probable is Fermat's Last Theorem?" Math. Intell. 16, 19-20, 1994.Sloane, N. J. A. Sequences A014549, A053002, A053003, A053004, A076390, 以及 A097057 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "The Kelvin Functions." Ch. 55 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, 1987.Todd, J. "The Lemniscate Constant." Comm. ACM 18, 14-19 和 462, 1975.

在 上被引用

高斯常數

引用為

Weisstein, Eric W. "Gauss's Constant." 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/GausssConstant.html

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