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畢達哥拉斯常數

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PythagorassConstant

在這項工作中，名稱畢達哥拉斯常數將賦予 平方根 2，

sqrt(2)=1.4142135623...
(1)

(OEIS A002193)，畢達哥拉斯學派證明它是無理數。

特別是，sqrt(2) 是兩條直角邊長均為 1 的斜邊的長度，而它為無理數意味著它不能表示為整數 p 和 q 的比率 p/q。傳說畢達哥拉斯哲學家希帕索斯在海上使用幾何方法證明了 sqrt(2) 的無理數性，並在告知其同伴他的偉大發現後，立即被狂熱的畢達哥拉斯學派成員扔下船。一個稍微的推廣有時被稱為畢達哥拉斯定理。

特奧多魯斯隨後證明了從 3 到 17（不包括 4、9 和 16）的數字的平方根也是無理數 (Wells 1986, p. 34)。

尚不清楚畢達哥拉斯常數是否對任何基數都是正規數 (Stoneham 1970, Bailey and Crandall 2003)。

連分數 sqrt(2) 是週期性的，就像所有二次無理數一樣，

sqrt(2)=[1,2,2,2,...]=[1,2^_]
(2)

(OEIS A040000)。

sqrt(2) 的 Engel 展開式 為 1, 3, 5, 5, 16, 18, 78, 102, 120, ... (OEIS A028254)。

顯然，尚不清楚是否存在適用於 sqrt(2) 的 BBP 型公式，但 pisqrt(2) 有以下公式

pisqrt(2)=sum_(k=0)^(infty)1/((-8)^k)(4/(6k+1)+1/(6k+3)+1/(6k+5))
(3)
=1/(64)sum_(k=0)^(infty)1/((-512)^k)((256)/(18k+1)+(64)/(6k+3)+(64)/(18k+5)-(32)/(18k+7)-8/(18k+9)-8/(18k+11)+4/(18k+13)+1/(18k+15)+1/(18k+17))
(4)
=4sum_(k=0)^(infty)(-1)^k(1/(4k+1)+1/(4k+3))
(5)
=4sum_(k=0)^(infty)(-1)^k(1/(12k+1)+1/(12k+3)-1/(12k+5)-1/(12k+7)+1/(12k+9)+1/(12k+11))
(6)
=sum_(k=0)^(infty)(-1)^k(3/(20k+1)+3/(20k+3)+2/(20k+5)-3/(20k+7)+3/(20k+9)+3/(20k+11)-3/(20k+13)+2/(20k+17)+3/(20k+19))
(7)
=1/8sum_(k=0)^(infty)1/(64^k)((32)/(12k+1)+8/(2k+3)+8/(12k+5)-4/(12k+7)-1/(12k+9)-1/(12k+11))
(8)

(E. W. Weisstein, Aug. 30, 2008)。

sqrt(2) 的 二進位制表示由下式給出

sqrt(2)=10110101000001001111..._2
(9)

(OEIS A004539; Graham and Polack 1970; Bailey et al. 2003)。

對於 n=2 的情況，使用婆什迦羅-布龍克爾平方根演算法，這給出了 sqrt(2) 的收斂值為 1、3/2、7/5、17/12、41/29、99/70、... (OEIS A001333 和 A000129; Wells 1986, p. 34; Flannery and Flannery 2000, p. 132; Derbyshire 2004, p. 16)。分子由線性遞推方程的解給出

a(n)=2a(n-1)+a(n-2),
(10)

由下式給出

a(n)=1/2[(1-sqrt(2))^n+(1+sqrt(2))^n],
(11)

分母是佩爾數，即具有 b(0)=0 和 b(1)=1 的相同遞推方程的解，其解為

b(n)=((1+sqrt(2))^n-(1-sqrt(2))^n)/(2sqrt(2)).
(12)

a(n) 的每個其他值，即 1、7、41、239、... (OEIS A002315) 產生 NSW 數。

Ribenboim (1996, p. 369) 考慮了使 p 為素數的素數值 a(p)，儘管他錯誤地將這些稱為產生素數 NSW 數的 p 值。前幾個這樣的 p 是 3、5、7、19、29、47、59、163、257、421、937、947、1493、1901、... (OEIS A005850)。

對於 sqrt(2)，牛頓迭代 平方根演算法給出的收斂值為 1、3/2、17/12、577/408、665857/470832、... (OEIS A001601 和 A051009)。

巴比倫人給出了令人印象深刻的近似值

sqrt(2) approx 1+(24)/(60)+(51)/(60^2)+(10)/(60^3)=1.41421296296296...
(13)

(OEIS A070197; Wells 1986, p. 35; Guy 1990; Conway and Guy 1996, pp. 181-182; Flannery 2006, pp. 32-33)。

另請參閱

2, 德利安常數, 格爾豐德-施奈德常數, 無理數, 等腰直角三角形, NSW 數, 八邊形, 畢達哥拉斯常數的數字, 畢達哥拉斯定理, 平方, 平方根, 平方根演算法, 特奧多魯斯常數

使用 探索

參考文獻

Bailey, D. H.; Borwein, J.; Crandall, R. E.; 和 Pomerance, C. "On the Binary Expansions of Algebraic Numbers." J. Théor. Nombres Bordeaux 16, 487-518, 2004.Bailey, D. H. 和 Crandall, R. E. "Random Generators and Normal Numbers." Exper. Math. 11, 527-546, 2002.Conway, J. H. 和 Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, 頁 25 和 181-182, 1996.Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. New York: Penguin, 2004.Finch, S. R. "Pythagoras' Constant." §1.1 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, 頁 1-5, 2003.Flannery, D. The Square Root of 2: A Dialogue Concerning a Number and a Sequence. New York: Copernicus, 2006.Flannery, S. 和 Flannery, D. In Code: A Mathematical Journey. London: Profile Books, 頁 130-132, 2000.Good, I. J. 和 Gover, T. N. "The Generalized Serial Test and the Binary Expansion of sqrt(2)." J. Roy. Statist. Soc. Ser. A 130, 102-107, 1967.Good, I. J. 和 Gover, T. N. "Corrigendum." J. Roy. Statist. Soc. Ser. A 131, 434, 1968.Gourdon, X. 和 Sebah, P. "Pythagore's Constant: sqrt(2)." http://numbers.computation.free.fr/Constants/Sqrt2/sqrt2.html.Graham, R. L. 和 Pollak, H. O. "Note on a Nonlinear Recurrence Related to sqrt(2)." Math. Mag. 43, 143-145, 1970.Guy, R. K. "Review: The Mathematics of Plato's Academy." Amer. Math. Monthly 97, 440-443, 1990.Jones, M. F. "22900D [sic] Approximations to the Square Roots of the Primes Less Than 100." Math. Comput. 22, 234-235, 1968.Nagell, T. Introduction to Number Theory. New York: Wiley, 頁 34, 1951.Ribenboim, P. The New Book of Prime Number Records. New York: Springer-Verlag, 1996.Shanks, D. Solved and Unsolved Problems in Number Theory, 4th ed. New York: Chelsea, 頁 126, 1993.Sloane, N. J. A. Sequences A000129/M1314, A001333/M2665, A001601/M3042, A002193/M3195, A004539, A005850/M2426, A028254, A040000, A051009, 和 A070197 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Stoneham, R. "A General Arithmetic Construction of Transcendental Non-Liouville Normal Numbers from Rational Functions." Acta Arith. 16, 239-253, 1970.Uhler, H. S. "Many-Figures Approximations to sqrt(2), and Distribution of Digits in sqrt(2) and 1/sqrt(2)." Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 37, 63-67, 1951.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Middlesex, England: Penguin Books, 頁 34-35, 1986.

在 中被引用

畢達哥拉斯常數

請引用為

Weisstein, Eric W. "Pythagoras's Constant." 來自 網路資源。 https://mathworld.tw/PythagorassConstant.html

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