正規數

如果一個數在基數 的展開式中，每個數字出現的平均頻率趨向於 ，則稱該數對於基數 是簡單正規的。

正規數是無理數，對於給定的基數（或所有基數），其展開式中任何有限的數字模式都以預期的極限頻率出現。例如，對於一個正規十進位制數，預計每個數字 0-9 出現 1/10 的時間，每對數字 00-99 預計出現 1/100 的時間，等等。在基數- 中為正規數的數，通常被稱為 -正規數。

對於每個 , 3, ... 都為 -正規數的數被稱為絕對正規數 (Bailey and Crandall 2003)。

正如 Kac (1959) 所說，“通常情況下，證明絕大多數物件具有某種屬性比展示哪怕一個這樣的物件要容易得多……展示一個‘正規’數是非常困難的！” (Stoneham 1970)。

如果實數 是 -正規數，那麼對於整數 和 ，它也是 -正規數 (Kuipers and Niederreiter 1974, p. 72; Bailey and Crandall 2001)。此外，如果 和 是有理數，且 且 是 -正規數，那麼 也是正規數。而如果 是整數，那麼 也是 -正規數 (Kuipers and Niederreiter 1974, p. 77; Bailey and Crandall 2001)。

確定數字是否為正規數是一個未解決的問題。甚至不知道諸如 π (Wagon 1985, Bailey and Crandall 2003)、自然對數 2 (Bailey and Crandall 2003)、阿佩裡常數 (Bailey and Crandall 2003)、畢達哥拉斯常數 (Bailey and Crandall 2003) 和 e 等基本數學常數是否為正規數，儘管 的前 3000 萬位數字分佈非常均勻 (Bailey 1988)。

雖然對 對於 （畢達哥拉斯常數數字）、3 （狄奧多羅斯常數數字）、5、6、7、8、10、11、12、13、14、15 的測試表明這些平方根可能是正規數 (Beyer et al. 1970ab)，但這些數的正規性（可能直到最近）也尚未得到證明。Isaac (2005) 最近發表了一篇預印本，聲稱證明了對於非完全平方數 的形式的每個數 在基數 2 中都是簡單正規的。不幸的是，這項工作使用了一種非標準方法，至少對於一些看過它的專家來說，這種方法顯得相當含糊不清。

雖然 Borel (1909) 證明了關於勒貝格測度幾乎所有數的正規性，但除了一些特殊類別的常數（例如，Stoneham 1973, Korobov 1990, Bailey and Crandall 2003）外，已知為正規數（在某些基數中）的數是人為構造的，例如 Champernowne 常數 和 Copeland-Erdős 常數。 特別是，二進位制 Champernowne 常數

(1)

(OEIS A030190) 是 2-正規數 (Bailey and Crandall 2001)。

Bailey 和 Crandall (2001) 表明，在與偽隨機數生成器相關的未經證實但合理的假設下，常數 , 和 將是 2-正規數，其中 是 阿佩裡常數。Stoneham (1973) 證明了所謂的 Stoneham 數

(2)

其中 和 是互質的正整數，當 是奇素數 且 是 的本原根時， 是 -正規數。Bailey 和 Crandall (2003) 擴充套件了這個結果，他們證明了對於所有正整數 ，只要 和 互質， 都是正規數。

Korobov (1990) 表明常數

(3)

對於正整數 和互質的 和 ， 是 -正規數，Bailey 和 Crandall (2003) 使用完全不同的技術重新證明了這一結果。令人驚訝的是，Korobov (1990) 還給出了一個顯式演算法來計算 的連分數項。

Bailey 和 Crandall (2003) 還確定了形式為 的常數的 -正規性，其中 和 是某些整數序列。