均勻分佈序列 -- 來自

一個實數序列 ${x_n}$ 在一個區間上是均勻分佈的，如果找到在任何子區間中的機率與子區間的長度成正比。均勻分佈序列的點在區間上形成一個稠密集。

然而，稠密集不一定都是均勻分佈的。例如， ${frac(lnn)}_n$ ，其中 $frac(x)$ 是分數部分，在中是稠密的，但不是均勻分佈的，如上圖所示，對於到 5000（左）和到（右）

Hardy 和 Littlewood (1914) 證明了冪分數部分的序列 ${frac(x^n)}_n$ 對於幾乎所有實數是均勻分佈的（即，例外集的勒貝格測度為零）。例外數包括正整數、白銀比 (Finch 2003) 和黃金比例。

上面圖表的頂部集合顯示了 ${frac(kx)}_(k=0)^(10)$ 對於等於 e，尤拉-馬歇羅尼常數，黃金比例和 pi 的值。類似地，下面圖表的底部集合顯示了這些常數的 ${frac(kx)}_(k=0)^(10000)$ 分佈的直方圖。請注意，雖然大多數都穩定到均勻分佈，但在次迭代後似乎呈現不均勻分佈。Steinhaus (1999) 評論說， $frac(nphi)$ 的高度均勻分佈根植於連分數的形式，用於。

現在考慮 ${frac(kx)}_(k=0)^n$ 在由 0、、、...、、1 確定的區間界定的區間中，對於 , 2, ... 的空區間數量，總結如下，針對之前考慮的常數。

	Sloane	n=1, 2, ... 的空區間數量 , 2, ...
	A036412	0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 3, 1, 4, 4, 7, 5, ...
	A046157	0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 3, 0, 3, 5, 3, ...
	A036414	0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 1, 0, 2, 2, ...
	A036416	0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 7, 7, ...

下表給出了沒有留下空箱的值。

	Sloane	沒有空區間的 n 值
	A036413	1, 2, 3, 4, 6, 7, 32, 35, 39, 71, 465, 536, 1001, ...
	A046158	1, 2, 3, 5, 6, 7, 12, 19, 26, 97, 123, 149, 272, 395, ...
	A036415	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 13, 16, 21, 34, 55, 89, 144, ...
	A036417	1, 6, 7, 106, 112, 113, 33102, 33215, ...

均勻分佈序列

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參考文獻

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