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皮索數

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皮索數是一個大於 1 的正代數整數，其所有共軛元素的絕對值都小於 1。如果一個大於 1 且次數為 2 或 3 的實二次代數整數的範數等於 +/-1，則它是一個皮索數。黃金比例 phi （當被視為皮索數時，記為 theta_0）是皮索數的一個例子，因為它具有次數為 2，範數為 -1。

最小的皮索數由 正根 theta_1=1.324717957... (OEIS A060006) 給出，即

x^3-x-1=0,
(1)

被稱為塑性常數。Salem (1944) 確定這個數是已知的最小數，Siegel (1944) 證明它是可能的最小數。

PisotConstant

皮索常數產生幾乎是整數的數。例如，theta_1 的冪次越大，theta_1^n-|_theta_1^n_| 就越接近 0 或 1 (Trott 2004)，其中 |_x_| 是向下取整函式。例如，驚人的例子 theta_1^(27369) 與整數的距離在 1.18463×10^(-1671) 之內 (Trott 2004, pp. 8-9)。

對於 theta_1 的哪些冪，該量更接近於 0 的是 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 14, 17, ... (OEIS A051016)，而更接近於 1 的是 2, 9, 10, 13, 15, 16, 18, 20, 21, 23, ... (OEIS A051017)。

Siegel 還將第二小的皮索數確定為 theta_2=1.38027756... (OEIS A086106) 的正根，即

x^4-x^3-1=0,
(2)

表明 theta_1 和 theta_2 是孤立的，並表明每個多項式的正根

x^n(x^2-x-1)+x^2-1
(3)

對於 n=1, 2, 3, ...,

x^n-(x^(n+1)-1)/(x^2-1)
(4)

對於 n=3, 5, 7, ..., 以及

x^n-(x^(n-1)-1)/(x-1)
(5)

對於 n=3, 5, 7, ... 都是皮索數。

所有小於 phi 的皮索數都是已知的 (Dufresnoy 和 Pisot 1955)。下表給出了一些小的皮索數及其多項式。後兩個條目來自 Boyd (1977)。

數值OEIS階數多項式係數
1.3247179572A06000631 0 -1 -1
1.3802775691A08610641 -1 0 0 -1
1.6216584885161 -2 2 -3 2 -2 1 0 0 1 -1 2 -2 2 -2 1 -1
1.8374664495201 -2 0 1 -1 0 1 -1 0 1 0 -1 0 1 -1 0 1 -1 0 1 -1

皮索數最初出現在對以下公式的考慮中

frac(x)=x-|_x_|
(6)

其中 frac(x) 表示 x 的小數部分，|_x_| 是向下取整函式。令 theta 為一個大於 1 的數，lambda 為一個正數，對於給定的 lambda，當 theta 不屬於 零測度的 lambda 相關例外集 S 時，序列 frac(lambdatheta^n) (對於 n=1, 2, ...) 是區間 (0, 1) 中的一個等分佈序列 (Koksma 1935)。Pisot (1938) 和 Vijayaraghavan (1941) 獨立研究了 theta 的例外值，Salem (1943) 提議將這些值稱為 Pisot-Vijayaraghavan 數。

Pisot (1938) 隨後證明了這樣一個事實：如果選擇 theta 使得存在一個 lambda!=0，對於該 lambda!=0，級數

sum_(n=0)^inftysin^2(pilambdatheta^n)
(7)

收斂，那麼 theta 是一個代數整數，其所有共軛（除了自身）的模都 <1，並且 lambda 是域 K(theta) 的一個代數整數。Vijayaraghavan (1940) 證明了皮索數集有無限多個極限點。Salem (1944) 證明了皮索數集是閉集。這個定理的證明基於這樣一個引理：對於一個皮索數 theta，總是存在一個數 lambda 使得 1<=lambda<theta 並且滿足以下不等式

sum_(n=0)^inftysin^2(pilambdatheta^n)<=(pi^2(2theta+1)^2)/((theta-1)^2).
(8)

另請參閱

幾乎是整數, 等分佈序列, Lehmer's Mahler 測度問題, 塑性常數, Salem 常數, Weyl 判據

此條目的部分內容由 David Terr 貢獻

使用 探索

參考文獻

Bell, J. P. 和 Hare, K. G. "皮索數的 Z(q) for q 屬性。" http://www.math.uwaterloo.ca/~kghare/Preprints/PDF/P17_Zq.pdf.Bertin, M. J. 和 Pathiaux-Delefosse, A. Lehmer 猜想和小 Salem 數。 Kingston: Queen's Papers in Pure and Applied Mathematics, 1989.Bertin, M. J.; Decomps-Guilloux, A.; Grandet-Hugot, M.; Pathiaux-Delefosse, M.; 和 Schreiber, J. P. 皮索數和 Salem 數。 Basel: Birkhäuser, 1992.Borwein, P. 和 Hare, K. G. "關於皮索數和 Salem 數的一些計算。" CECM-00:148, 5 月 18 日. http://www.cecm.sfu.ca/preprints/2000pp.html#00:148.Boyd, D. W. "小 Salem 數。" Duke Math. J. 44, 315-328, 1977.Boyd, D. W. "實線區間中的皮索數和 Salem 數。" Math. Comput. 32, 1244-1260, 1978.Boyd, D. W. "極限點附近的皮索數。II" Math. Comput. 43, 593-602, 1984.Boyd, D. W. "極限點附近的皮索數。I" J. Number Theory 21, 17-43, 1985.Dubickas, A. "關於皮索數冪的註釋。" Publ. Math. Debrecen 56, 141-144, 2000.Dufresnoy, J. 和 Pisot, C. "單位圓上某些有界亞純函式的研究，應用於代數整數的閉集。" Ann. Sci. École Norm. Sup. 72, 69-92, 1955.Erdős, P.; Joó, M.; 和 Schnitzer, F. J. "關於皮索數。" Ann. Univ. Sci. Budapest, Eőtvős Sect. Math. 39, 95-99, 1997.Katai, I. 和 Kovacs, B. "具有近似整數值的乘法函式。" Acta Sci. Math. 48, 221-225, 1985.Koksma, J. F. "關於模一均勻分佈的集合論定理。" Comp. Math. 2, 250-258, 1935.Le Lionnais, F. 傑出的數字。 Paris: Hermann, pp. 38 和 148, 1983.Luca, F. "關於 G. Kuba 的一個問題。" Arch. Math. (Basel) 74, 269-275, 2000.Pisot, C. "模 1 分佈和代數數。" Annali di Pisa 7, 205-248, 1938.Salem, R. "唯一性集和多重性集。" Trans. Amer. Math. Soc. 54, 218-228, 1943.Salem, R. "一類傑出的代數數。Vijayaraghavan 猜想的證明。" Duke Math. J. 11, 103-108, 1944.Salem, R. "具有整數係數的冪級數。" Duke Math. J. 12, 153-172, 1945.Siegel, C. L. "共軛位於單位圓內的代數數。" Duke Math. J. 11, 597-602, 1944.Sloane, N. J. A. 序列 A051016, A051017, A060006, 和 A086106 在 "整數序列線上百科全書" 中。Trott, M. Mathematica 程式設計指南。 New York: Springer-Verlag, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.Vijayaraghavan, T. "關於數的冪的小數部分，II。" Proc. Cambridge Phil. Soc. 37, 349-357, 1941.

在 中被引用

皮索數

請這樣引用

Terr, David 和 Weisstein, Eric W. "皮索數。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/PisotNumber.html

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