小數部分

函式 給出實數 的小數（非整數）部分。符號 有時被用來代替 （Graham 等，1994，第 70 頁；Havil 2003，第 109 頁），但由於可能與包含元素 的集合混淆，因此本作品中未使用此符號。

遺憾的是，對於 的 的含義沒有普遍的共識，並且有兩個常見的定義。設 為向下取整函式，則 Wolfram 語言命令FractionalPart[x] 定義為

(1)

（左圖）。這個定義的好處是 ，其中 是 的整數部分。雖然 Spanier 和 Oldham (1987) 使用與 Wolfram 語言相同的定義，但他們只是非常簡短地提到了這個公式，然後表示不會進一步使用。Graham 等 (1994，第 70 頁)，以及也許大多數其他數學家，使用不同的定義

(2)

（右圖）。

最小值 最大值 Re Im

小數部分函式也可以擴充套件到複平面，定義為

(3)

如上圖所示。

由於關於小數部分/值和整數部分/值的用法可能會令人困惑，下表總結了使用的名稱和符號。這裡，S&O 指的是 Spanier 和 Oldham (1987)。

符號	名稱	S&O	Graham 等人	Wolfram 語言
	天花板函式	--	天花板, 最小整數	Ceiling[x]
	同餘	--	--	Mod[m, n]
	地板函式		地板, 最大整數, 整數部分	Floor[x]
	小數值		小數部分或	SawtoothWave[x]
	小數部分		無名稱	FractionalPart[x]
	整數部分		無名稱	IntegerPart[x]
	最近整數函式	--	--	Round[x]
	商	--	--	Quotient[m, n]

與後一個定義相對應的（可能縮放的）週期性波形被稱為鋸齒波。

上面所示的 的小數部分具有有趣的解析積分

			(4)
			(5)
			(6)
			(7)
			(8)
			(9)

積分

(10)

因此是由下式給出的伸縮和

			(11)
			(12)
			(13)

其中 是尤拉-馬歇羅尼常數， 是調和數。

另一個可以用閉合形式完成並給出相同結果的相關積分是

(14)

（Havil 2003, pp. 109-111）。

上面的圖顯示了 在 範圍內的小數部分，顯示了特徵間隙（Trott 2004，p. 223）。

Weyl 準則的一個結果是，對於無理數 ，序列 在區間 內是稠密的且等分佈的，其中 , 2, ... (Finch 2003)。