同餘

如果兩個數 和 的差 可以被一個數 整除（即， 是一個整數），那麼 和 被稱為“模 同餘”。數 稱為模數，而語句“ 與 模 同餘”在數學上寫為

(1)

如果 不能 被 整除，則稱“ 與 模 不同餘”，記為

(2)

當模數 在上下文中被理解時，顯式的“（mod ）”有時會被省略，因此在這種情況下，必須注意不要將符號 與等價符號混淆。

量 有時被稱為“基數”，量 被稱為剩餘或餘數。有幾種型別的剩餘。常用剩餘定義為非負且小於 ，而最小剩餘是 或 ，以絕對值較小者為準。

同餘算術可能是最熟悉的時鐘算術的推廣。由於一小時有 60 分鐘，“分鐘算術”使用模數 。如果從過小時 40 分鐘開始，然後等待 35 分鐘，，因此當前時間將是過（下一個）小時 15 分鐘。

類似地，12 小時制時鐘上的“小時算術”使用模數 ，因此上午 10 點加五個小時得到 ，即下午 3 點。

同餘滿足許多重要的性質，並且在數論的許多領域都非常有用。使用同餘，有時可以推匯出簡單的整除性檢驗來檢查給定數字是否可以被另一個數字整除。例如，如果一個數字的各位數字之和可以被 3 (9) 整除，則原始數字可以被 3 (9) 整除。

同餘也有其侷限性。例如，如果 且 ，則可以得出 ，但通常不能得出 或 。此外，透過“滾動溢位”，同餘會丟棄絕對資訊。例如，知道過小時的分鐘數很有用，但知道分鐘數是過哪個小時則通常更有用。

設 和 ，則同餘的重要性質包括以下內容，其中 表示“蘊含”

1. 等價性： （可以視為定義）。

2. 確定性： 或 。

3. 自反性：。

4. 對稱性：。

5. 傳遞性： 且 。

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. 且 ，其中 是最小公倍數。

12. ，其中 是最大公約數。

13. 如果 ，則 ，對於 一個多項式。

性質 (6-8) 可以透過簡單地定義來證明

			(3)
			(4)

其中 和 是整數。然後

			(5)
			(6)
			(7)

因此這些性質成立。

同餘也適用於分數（即，有理數）以及整數，並且可以稱為分數同餘。