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二次互反定理

如果 p 和 q 是不同的奇素數，那麼二次互反定理指出同餘式

x^2=q (mod p) x^2=p (mod q)
(1)

要麼都可解，要麼都不可解，除非 p 和 q 除以 4 都餘 3（在這種情況下，一個同餘式可解，另一個不可解）。 符號表示為，

(p/q)(q/p)=(-1)^((p-1)(q-1)/4),
(2)

其中

(p/q)={1 for x^2=p (mod q) solvable for x; -1 for x^2=p (mod q) not solvable for x
(3)

被稱為勒讓德符號。

高斯稱這個結果為“aureum theorema”（黃金定理）。

尤拉在 1783 年陳述了這個定理，但沒有證明。勒讓德是第一個發表證明的人，但它是錯誤的。1796 年，高斯成為第一個發表正確證明的人（Nagell 1951，p. 144）。二次互反定理是高斯在數論中最喜歡的定理，在他一生中，他設計了至少八種不同的證明。

虧格定理指出丟番圖方程

x^2+y^2=p
(4)

對於p素數可解，當且僅當 p=1 (mod 4) 或 p=2。

參見

虧格定理, 雅可比符號, 克羅內克符號, 勒讓德符號, 二次的, 二次剩餘, 互反定理 在 課堂中探索這個主題

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參考文獻

Courant, R. and Robbins, H. What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed. Oxford, England: Oxford University Press, p. 39, 1996.Ireland, K. and Rosen, M. "Quadratic Reciprocity." Ch. 5 in A Classical Introduction to Modern Number Theory, 2nd ed. New York:Springer-Verlag, pp. 50-65, 1990.Jones, G. A. and Jones, J. M. "Quadratic Reciprocity." §7.4 in Elementary Number Theory. Berlin:Springer-Verlag, pp. 130-135, 1998.Nagell, T. "The Quadratic Reciprocity Law." §41 in Introduction to Number Theory. New York: Wiley, pp. 141-145, 1951.Riesel, H. "The Law of Quadratic Reciprocity." Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, 2nd ed. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 279-281, 1994.Shanks, D. Solved and Unsolved Problems in Number Theory, 4th ed. New York: Chelsea, pp. 42-49, 1993.

在 中被引用

二次互反定理

引用為

Weisstein, Eric W. "Quadratic Reciprocity Theorem." 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/QuadraticReciprocityTheorem.html

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