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雅可比符號

雅可比符號，寫作 (n/m) 或 (n/m)，定義為正 奇 m 為

(n/m)=(n/(p_1))^(a_1)(n/(p_2))^(a_2)...(n/(p_k))^(a_k),
(1)

其中

m=p_1^(a_1)p_2^(a_2)...p_k^(a_k)
(2)

是 m 的素因數分解，而 (n/p_i) 是勒讓德符號。（勒讓德符號等於 +/-1，取決於 n 是否為模 m 的二次剩餘。） 因此，當 m 是素數時，雅可比符號簡化為勒讓德符號。 與勒讓德符號類似，雅可比符號通常被推廣為具有值

(n/m)=0 if GCD(m,n)!=1,
(3)

給出

(n/n)=0
(4)

作為一個特例。 請注意，雅可比符號對於 m<=0 或 m 偶數未定義。 雅可比符號在 Wolfram 語言中實現為JacobiSymbol[n, m].

雅可比符號的使用提供了二次互反律的推廣

(m/n)(n/m)=(-1)^((m-1)(n-1)/4)
(5)

對於 m 和 n 互素 奇 整數，且 n>=3 (Nagell 1951, pp. 147-148)。 換句話說，

(m/n)=(-1)^((m-1)(n-1)/4)(n/m)
(6)

或

(n/m)={(m/n) for m or n=1 (mod 4); -(m/n) for m,n=3 (mod 4).
(7)

雅可比符號滿足與勒讓德符號相同的規則

(n/m)(n/(m^'))=(n/((mm^')))
(8)
(n/m)((n^')/m)=(((nn^'))/m)
(9)
((n^2)/m)=(n/(m^2))=1 if (m,n)=1
(10)
(n/m)=((n^')/m) if n=n^' (mod m)
(11)
((-1)/m)=(-1)^((m-1)/2)={1 for m=1 (mod 4); -1 for m=-1 (mod 4)
(12)
(2/m)=(-1)^((m^2-1)/8)={1 for m=+/-1 (mod 8); -1 for m=+/-3 (mod 8)
(13)

Bach 和 Shallit (1996) 展示瞭如何根據有理數 n/m 的簡單連分數計算雅可比符號。

參見

克羅內克符號, 勒讓德符號, 二次剩餘

相關 Wolfram 站點

http://functions.wolfram.com/NumberTheoryFunctions/JacobiSymbol/

使用 探索

參考文獻

Bach, E. 和 Shallit, J. 演算法數論，第 1 卷：高效演算法。 Cambridge, MA: MIT Press, pp. 343-344, 1996.Bressoud, D. M. 和 Wagon, S. 計算數論課程。 London: Springer-Verlag, p. 189, 2000.Guy, R. K. "二次剩餘。 Schur 猜想。" §F5 在 數論中未解決的問題，第 2 版。 New York: Springer-Verlag, pp. 244-245, 1994.Nagell, T. "雅可比符號和互反律的推廣。" §42 在 數論導論。 New York: Wiley, pp. 145-149, 1951.Riesel, H. "雅可比符號。" 素數和因子分解的計算機方法，第 2 版。 Boston, MA: Birkhäuser, pp. 281-284, 1994.

引用為

Weisstein, Eric W. "雅可比符號。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/JacobiSymbol.html

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