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勒讓德符號

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勒讓德符號是一個數論函式 (a/p)，其定義為等於 +/-1，取決於 a 是否是模 p 的二次剩餘。該定義有時被推廣為當 p|a 時值為 0，

(a/p)=(a|p)={0 if p|a; 1 if a is a quadratic residue modulo p; -1 if a is a quadratic nonresidue modulo p.
(1)

如果 p 是一個奇素數，那麼雅可比符號就簡化為勒讓德符號。勒讓德符號在 Wolfram 語言 中透過雅可比符號實現，雅可比符號[a, p]。

勒讓德符號服從恆等式

((ab)/p)=(a/p)(b/p).
(2)

特殊恆等式包括

((-1)/p)=(-1)^((p-1)/2)
(3)
(2/p)=(-1)^((p^2-1)/8)
(4)
((-3)/p)={1 if p=1 (mod 6); -1 if p=5 (mod 6)
(5)
(5/p)={1 if p=1,9 (mod 10); -1 if p=3,7 (mod 10)
(6)

(Nagell 1951, p. 144)，以及一般的

(q/p)=(p/q)(-1)^([(p-1)/2][(q-1)/2])
(7)

當 p 和 q 都是奇素數時。

一般來說，

(a/p)=a^((p-1)/2) (mod p)
(8)

如果 p 是一個奇素數。

參見

雅可比符號, 克羅內克符號, 二次互反律, 二次剩餘

使用 探索

參考文獻

Guy, R. K. "Quadratic Residues. Schur's Conjecture." §F5 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 244-245, 1994.Hardy, G. H. and Wright, E. M. "Quadratic Residues." §6.5 in An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. Oxford, England: Clarendon Press, pp. 67-68, 1979.Jones, G. A. and Jones, J. M. "The Legendre Symbol." §7.3 in Elementary Number Theory. Berlin: Springer-Verlag, pp. 123-129, 1998.Nagell, T. "Euler's Criterion and Legendre's Symbol." §38 in Introduction to Number Theory. New York: Wiley, pp. 133-136, 1951.Shanks, D. Solved and Unsolved Problems in Number Theory, 4th ed. New York: Chelsea, pp. 33-34 and 40-42, 1993.

在 上被引用

勒讓德符號

引用為

Weisstein, Eric W. "勒讓德符號。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/LegendreSymbol.html

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