互易定理

如果存在一個有理整數 使得，當 , , 和 是 正整數時，

那麼 是 的 -進剩餘，即， 是 的 -進剩餘 當且僅當 對於 是可解的。互易定理將 “ 是 的 -進剩餘” 形式的陳述與 “ 是 的 -進剩餘” 形式的互反陳述聯絡起來。

首先要考慮的情況是 （二次互易定理），高斯給出了第一個正確的證明。高斯還解決了 (三次互易定理) 的情況，使用了 整數 形式 ，其中 是 的根，, 是有理整數。高斯陳述了 (雙二次互易定理) 的情況，使用了 高斯整數。

1844-50 年艾森斯坦和 1850-61 年庫默爾給出了素數 的 -進互易性的證明。在 20 世紀 20 年代，阿廷提出了 阿廷互易定理，這是一個適用於所有階的一般互易律。