類域論

取 為一個數域，並取 為 的一個除子。一個同餘子群 被定義為相對於 互素的所有分式理想群 () 的一個子群，它包含所有由 的元素生成的主理想，這些元素等於 1 (mod )。這些主理想在所有阿貝爾擴張中完全分裂，因此是每個阿貝爾擴張 的 Artin 對映的核的一部分。

當存在一個阿貝爾擴張 ，使得 包含所有在 中分歧的素數，並且使得 等於 Artin 對映的核時，則 被稱為 的類域。

為了闡述主要定理，需要同餘子群上的等價關係，即如果存在一個除子 使得 ，則稱 和 是等價的。

類域論由兩個基本定理組成。存在性定理指出，對於每個同餘子群的等價類，都存在一個類域 。分類定理指出，對於每個數域 ，在阿貝爾擴張 和同餘子群的等價類 之間存在唯一的一一對應。

這很重要，因為這意味著可以使用完全由數域自身確定的屬性來找到數域的所有阿貝爾擴張。